Применение нейронных сетей для решения задачи Дирихле для областей сложной формы (2024)
Многие задачи в математике сводятся к решению дифференциальных уравнений в частных производных для областей сложной формы. Не всегда существующие аналитические и численные методы позволяют эффективно получить решение подобных задач. В последнее время достаточно успешно для решения дифференциальных уравнений в частных производных применяются нейронные сети. При этом обычно рассматриваются краевые задачи для областей, имеющих простую форму. В данной работе предпринимается попытка построить нейронную сеть, способную эффективно решать краевые задачи для областей сложной формы.
Идентификаторы и классификаторы
Достаточно часто при моделировании различных явлений используются дифференциальные уравнения в частных производных. При этом области, на которых определены дифферен-циальные уравнения, часто имеют достаточно сложную форму, которая или не позволяет применять известные методы, или же существенно затрудняет их применение. Быстрое развитие вычислительной техники позволило использовать при решении дифферен-циальных уравнений в частных производных различные методы машинного обучения.
Список литературы
1. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения. Доклады Академии наук СССР. 1957;114(5):953-956.
2. Варшавчик Е.А., Галяутдинова А.Р., Седова Ю.С., Тархов Д.А. Решение дифференциальных уравнений в частных производных для областей с постоянными границами. Искусственный интеллект в решении актуальных социальных и экономических проблем ХХI века. В: Труды Третьей всерос. науч.-практ. конф. Пермь: Издательство Перм. гос. нац. исслед. ун-та; 2018. С. 294-303.
3. Бортковская М.Р., Каверзнева Т.Т., Семенова Д.А., Шишкина И.А., Тархов Д.А., Удалов П.П. Построение математической модели прогиба мембраны с помощью двухслойного метода Эйлера по дифференциальному уравнению и экспериментальным данным. Искусственный интеллект в решении актуальных социальных и экономических проблем ХХI века. В: Труды Третьей всерос. науч.-практ. конф. Пермь: Издательство Перм. гос. нац. исслед. ун-та; 2018. С. 194-201.
4. Епифанов А.А. Применение методов глубокого обучения для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Успехи кибернетики. 2020;1(4):22-28. https://doi.org/10.51790/2712-9942-2020-1-4-3
5. Горбаченко В.И., Артюхина Е.В. Два подхода к обучению радиально-базис-ных нейронных сетей при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. Информатика и вычислительная техника. 2007;2:56-66.
6. Корсунов Н.И., Ломакин А.В. Моделирование процессов, описываемых волновым дифференциальным уравнением, с использованием ячеистых нейронных сетей. Научные ведомости. Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2014;15(186):103-107.
7. Коваленко А.Н., Черноморец А.А., Петина М.А. О применении нейронных сетей для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Научные ведомости. Серия Экономика. Информатика. 2017; 258:103-110.
8. Вершинин В.Е., Пономарев Р. Ю. Применение методов нейросетевого моделирования при решении начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. 2017;9(35):132-147. https://doi.org/10.21684/2411-7978-2023-9-3-132-147
9. Земскова Ю.Н. Применимость компактно поддерживаемых нейронных сетей для решения дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных элементов. Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. 2009;13(17): 44-148.
10. Kansa E.J. Motivation for using radial basis functions to solve PDEs. URL: http://uahtitan.uah.edu/kansaweb.html (дата обращения: 16.01.1999).
11. Kansa E.J. Multiquadrics. A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics. II. Solutions to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations. Comput. Math. Appl. 1990;19 (8/9):147-161.
12. Raissia M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics. 2019;378:686‒707
13. Зрелова Д.П., Ульянов С.В. Модели физически информированных осве-домленных классических Лагранжевых Гамильтоновых нейронных сетей в глубоком обучении. Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2022;18(2):310-325. https://doi.org/10.25559/SITITO.18.202202.310-325
14. Chen J., Viquerat J., Hachem E. U-net Architectures for Fast Prediction of Incompressible Laminar Flows. URL: https://arxiv.org/pdf/1999.13532.pdf (дата обращения: 17.05.1999).
15. Cai S., Wang Z., Wang S., Perdikaris P., Karniadakis G. E. Physics-informed neural networks for heat transfer problems. Journal of Heat Transfer. 2021;143(6):060801. https://doi.org/10.1115/1.4050542
Выпуск
Другие статьи выпуска
Работа посвящена моделированию процесса ультразвукового медицинского исследования в гетерогенной среде, в которой присутствуют области с существенно разной скоростью звука. Такие постановки задач возникают, например, при визуализации структур мозга через череп. Целью данной работы является сравнение возможных подходов к определению границы раздела акустически контрастных сред с использованием свёрточных нейронных сетей.
В работе выполняется численное моделирование прямой задачи — получение синтети-
ческих расчётных ультразвуковых изображений по известной геометрии и реологии области, а также параметрам датчика. На расчётных изображениях воспроизводятся искажения и артефакты, типичные для постановок со стенкой черепа. Для решения обратной задачи определения границы раздела сред по сигналу с датчика используются свёрточные нейронные сети 2D и 3D структуры, следующие общей архитектуре UNet. Сети обучаются на наборах расчётных данных, после чего тестируются на отдельных примерах, не использованных при обучении.
В настоящее время активно исследуются частотные режимы работы ускорителей электронов на основе капиллярных разрядов. Электроны в них ускоряются под действием лазерных импульсов фемтосекундного диапазона длительности, пропускаемых через плазму разряда.
В работе рассматриваются результаты трехмерного магнитогидродинамического моделирования цикла капиллярного разряда, включающего стадии заполнения короткого капилляра рабочим газом (водород), формирование плазменного канала, восстановление рабочей среды перед началом следующего разряда. Расчеты выполнены в предположении о том, что система находится под внешним охлаждением, которое обеспечивает температурный баланс на промежуточных этапах рабочего цикла, а также при постоянных условиях подачи и откачки рабочего газа.
Работа посвящена математическому моделированию экстремальных колебаний уровня Азовского моря с использованием данных дистанционного зондирования. Цель исследования заключается в разработке и применении математической модели, которая позволяет более точно прогнозировать сгонно-нагонные явления, вызванные экстремальными ветровыми условиями. Актуальность работы обусловлена необходимостью улучшения прогнозов гидродинамических процессов в мелководных водоемах (таких, как Азовское море), где подобные явления могут иметь значительные экономические и экологические последствия. Цель данной работы — разработка и применение математической модели для прогнозирования экстремальных колебаний уровня Азовского моря, вызванных ветровыми условиями.
Изучение процессов теплообмена и распределения потоков тепла в океанах имеет важное значение для понимания климатических изменений на Земле. Северная Атлантика, являющаяся одним из ключевых компонентов глобальной климатической системы, играет существенную роль в регулировании климата наших широт.
Одним из ключевых инструментов для анализа распределения тепла в океанах является вероятностный анализ. В настоящей работе методами математического моделирования проводится статистический анализ данных наблюдений тепловых потоков в Северной Атлантике.
Представлен новый решатель с адаптивным измельчением сеток SWqgdAMR на базе открытой программной платформы AMReX. Новый решатель основан на регуляризованных уравнениях мелкой воды. В работе описаны уравнения, их дискретизация и особенности реализации в AMReX. Работоспособность SWqgdAMR была показана на двух тестовых задачах: двумерная задача прорыва круговой дамбы (распад столба жидкости) и задача о распаде двух столбов жидкости, разных по высоте.
Издательство
- Издательство
- ДГТУ
- Регион
- Россия, Ростов-на-Дону
- Почтовый адрес
- 344003, ЮФО, Ростовская область, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
- Юр. адрес
- 344003, Ростовская обл, г Ростов-на-Дону, пл Гагарина, зд 1
- ФИО
- Месхи Бесарион Чохоевич (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- reception@donstu.ru
- Контактный телефон
- +8 (800) 1001930
- Сайт
- https://donstu.ru