ВЕСТНИК ВОРОНЕЖСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ: ФИЗИКА. МАТЕМАТИКА

В статье представлены результаты исследования динамики семейства итерированных рациональных функций. Исследованы орбиты точек при различных значениях параметра, выявлена структура неподвижных точек данного семейства. Разработаны алгоритмы построения множеств Жюлиа и заполняющих множеств Жюлиа, представлена визуализация этих множеств при определенных значениях параметра. Разработан алгоритм построения множества Мандельброта, выявлено обрамление множества Мандельброта и алгоритм его построения.

Исследовано многомерное уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Левая часть уравнения имеет вид однородного полинома второй степени от искомой функции и ее производных первого и второго порядков. Рассматривается линейное мультипликативное преобразование неизвестной функции, которое преобразует исходное уравнение к уравнению того же вида. Найдены инварианты этого преобразования и сформулирована теорема об условиях эквивалентного преобразования уравнений указанного вида.

Абстрактный оператор рассматривается в произвольной области многомерного пространства. Возмущениями являются некоторые произвольные операторы. Изучается сходимость кратных собственных значений. Доказаны теоремы сходимости.

В работе проводится анализ поведения математической модели трехуровневой пищевой пирамиды, которая называется моделью Розенцвейга-Макартура и относится к классу сингулярно возмущенных систем. Эта модель описывает динамику трех взаимодействующих популяций разных трофических уровней - жертвы, хищника, суперхищника и математически записывается в виде системы трех дифференциальных уравнений. В некоторых областях фазового пространства состояние динамической системы может быть с относительной точностью охарактеризовано небольшим количеством переменных, описывающих проекцию меньшей размерности. Проекция меньшой размерности может иметь место во всем фазовом пространстве или в его ограниченных областях. Для описания поведения системы, находящейся в области, где построение проекции меньшей размерности невозможно используются асимптотические методы.

В статье предлагается разработанная авторами модель искусственной иммунной системы. Рассматривается общий алгоритм ее применения, и объясняются способы применения для различных практических задач. Алгоритм изменяется в зависимости от решаемой задачи, но цель решение оптимизационной задачи достигается. Производится сравнение решения известных задач с помощью искусственной иммунной системы и с помощью других методов с известными результатами.

В работе рассматривается дробно дифференциальный полиномиальный оператор, обобщающий многочлен с целочисленным дифференцированием. Исследуется его обратимость в классах функций ограниченных со специальным весом. Устанавливается существование ограниченного обратного к рассматриваемому оператору в этих пространствах. Указывается интегральное представление и оценка решения через правую часть. Отметим, что полученный результат является важным при установлении так называемой промежуточной асимптотикой Г. И. Баренблатта и Я. Б. Зельдовича для задач без начальных условий.

Получены уравнения и исследованы закономерности установления равновесных форм изолированной капли несжимаемой, невязкой идеально проводящей жидкости при движении в диэлектрической среде под действием внешнего электростатического поля. Показано, что воздействие ламинарного потока идеального газа, представляющего собой среду с однородными диэлектрическими свойствами, сфероидальная форма капли преобразуется в сплюснутый сфероид с осью симметрии, ориентированной в направлении потока. Внешние электростатические силы обусловливают деформацию капли к вытянутому по полю сфероиду. Наличие на капле электрического заряда способствует увеличению эксцентриситета формируемой поверхности. На основе формализованного представления процессов эволюции определены рациональные соотношении величинами напряженности электростатического поля и скорости ламинарного потока, необходимые для сохранения исходной равновесной формы заряженной капли.

С использованием уравнений Лапласа для потенциалов скорости несжимаемой идеально проводящей жидкости и электрического поля получены уравнения и исследованы закономерности возбуждения нелинейных капиллярных колебаний изолированной капли с поверхностным электрическим зарядом в бесконечно протяженной диэлектрической среде. На основе решения полученных уравнений методом многих масштабов при аппроксимации отклонения поверхности заряженной капли от сферической формы рядом полиномов Лежандра найдены аналитические представления колебаний при многомодовой начальной деформации структуры.