Публикации автора

Критерии неподвижной точки находят применение в различных областях математики. Хорошо известен интерес к проблеме нахождения достаточных условий того, что преобразование из некоторого класса имеет неподвижную точку. В контексте изучения проблемы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов группоида были сформулированы: биполярная классификация эндоморфизмов и сопутствующие математические объекты. В частности, было сформулировано понятие «биполярный тип эндоморфизма» группоида (или просто «биполярный тип»). Всякий эндоморфизм произвольного группоида имеет ровно один биполярный тип. В данной работе с помощью биполярных типов формулируется и доказывается критерий неподвижной точки произвольного преобразования некоторого непустого множества (далее универсальный критерий неподвижной точки). Данный критерий не является простым в применении. Дальнейшее расширение круга задач, к которым можно применять данный критерий, напрямую зависит от успехов в исследовании свойств эндоморфизмов группоидов. В работе формулируются открытые общие проблемы, успехи в исследовании которых расширят возможности применения универсального критерия неподвижной точки. Обсуждается связь между сформулированными проблемами и полученным критерием. Получены необходимые и достаточные условия того, что выполняется гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана. Эти условия получены с помощью универсального критерия неподвижной точки.

Строятся частичные группоиды, ассоциированные с композициями многослойных нейронных сетей прямого распределения сигнала (далее - нейронные сети). Элементами данных группоидов являются кортежи специального вида. Задание такого кортежа определяет структуру (т. е. архитектуру) нейронной сети. Каждому такому кортежу можно сопоставить отображение, которое будет реализовывать работу нейронной сети как вычислительной схемы. Таким образом, в данной работе нейронная сеть отождествляется в первую очередь со своей архитектурой, а ее работу реализует отображение, которое строится с помощью модели искусственного нейрона. Частичная операция в построенных группоидах устроена так, что результат ее применения (если он определен) к паре нейронных сетей дает нейронную сеть, которая на каждом входном сигнале действует в соответствии с принципом композиции нейронных сетей (т. е. выходной сигнал одной сети отправляется на вход второй сети). Установлено, что построенные частичные группоиды являются полугруппоидами (т. е. частичными группоидами с условием сильной ассоциативности). Строятся некоторые эндоморфизмы указанных группоидов, которые позволяют менять пороговые значения и функции активации нейронов указанной совокупности. Изучаются преобразования построенных частичных группоидов, которые позволяют менять веса синоптических связей из заданного множества синоптических связей. Данные преобразования в общем случае не являются эндоморфизмами. Был построен частичный группоид, для которого данное преобразование является эндоморфизмом (носитель этого частичного группоида является подмножеством в носителе исходного частичного группоида).