Проблема макроскопического тела в квантовой механике
Луна в квантовой механике.
Альберт Эйнштейн.
Сама постановка этого вопроса в контексте квантово-механического описания природы обозначает проблему представления макроскопического тела в квантовой механике, ибо отрицательный ответ нас с позиции объективного существования материи и, следовательно, отрицает физику как естественную науку вообще (Эйнштейн в принципе не рассматривал подобную философскую позицию.). Не будем развивать дискуссию о порочности эмпириокритицизма (материалов на эту тему за последние почти полтора столетия опубликовано предостаточно), а просто ответим на этот вопрос утвердительно.
Но согласно принципу соответствия такой ответ предполагает, что при правильном определении макроскопического тела, применение к частицам этого тела законов микромира должно порождать классическое описание его движения. В традиционной квантовой механике эту задачу призвано решить квазиклассическое приближение, которое предполагает подстановку в стационарное уравнение Шрёдингера волновой функции в форме ряда по степеням отношения постоянной Планка к пространственному действию на де-бройлевской длине волны частицы при стремлении этого отношения к нулю. Не вдаваясь в математику приближения применительно к макроскопическому телу, отметим два важных обстоятельства:
1-классическое тело представляется в виде цельной бесструктурной частицы огромной массы (суперчастицы), хотя, на самом деле, оно состоит из огромного числа квантовых частиц, каждая из которых подчиняется законам квантовой механики и лишь их совокупность – законам механики классической;
2-логическим результатом такого представления макроскопического объекта, является то обстоятельство, что вместо материальной точки, в качестве его математического образа, мы имеем функцию координат, по всему пространству доступному для движения тела. Несмотря на то, что в первом приближении получается правильное выражение для импульса макроскопического тела через потенциальную и полную энергию, то есть правильная зависимость импульса тела от координат пространства, отсутствие локализации суперчастицы в пространстве не может быть признано удовлетворительным. Причём порочность представления макроскопического тела в виде цельной квантовой частицы не связана с квазиклассическим приближением, а носит универсальный характер.
Чтобы проиллюстрировать это представим Луну в виде квантовой частицы соответствующей массы, движущейся в гравитационном поле Земли. Получим квантовое состояние Луны непосредственно из стационарного уравнения Шрёдингера. Для этого можно воспользоваться решениями аналогичного уравнения для электрона в атоме водорода, заменив величины, определяющие потенциальную энергию кулоновского взаимодействия, на аналогичные постоянные для взаимодействия гравитационного. В результате мы получим множество стационарных квантовых состояний в форме произведений радиальных и угловых частей с гигантскими значениями квантовых чисел n и l. Эти стационарные состояния имеют настолько большую плотность в пространстве энергии, что любое отклонение параметров фактического взаимодействия от модельного приводит к их в этом пространстве в окрестности макроскопического значения энергии системы. В результате модуль координатной волновой функции будет иметь постоянное значение в бесконечно малой окрестности реальной орбиты Луны, и равен нулю во всём остальном пространстве. Если буквально использовать правило Борна, это означает, что в заданный момент времени Луну можно обнаружить в любой точке орбиты с равной вероятностью. То есть, миллионы людей одновременно взглянув на Луну, должны обнаружить её в разных точках орбиты. Далее ещё хуже. Согласно традиционной квантовой механике в результате этих наблюдений коллапс волновой функции локализует Луну во множестве различных точек орбиты. Не будем более наслаждаться этой , а лишь, предположив универсальную справедливость основных положений квантовой механики, констатируем два факта:
1-коллапс волновой функции при измерении не позволяет локализовать волновую функцию макроскопического тела (В данном случае это выражается в том, что взгляд человека не влияет на механическое состояние Луны.);
2-представление о макроскопическом теле, как о квантовой частице большой массы в принципе неверное, поскольку оно неизбежно порождает волновую функцию в пространстве, которая, в соответствии с предыдущим утверждением, не может быть локализована измерением.
Таким образом, существенным является тот факт, что макроскопическое тело представляет собой не одну, а множество квантовых частиц, совокупное движение которых выражается в движении их центра масс по законам классической механики. Если выразить положение цента масс через волновые функции квантовых частиц тела, то, очевидно, что оно, в общем, не локализовано в пространстве, а представляется в форме соответствующей волновой функции. Тогда для макроскопического тела временная эволюция этой волновой функции должна локализовать её независимо от микроскопического состава тела и характера взаимодействия между его частицами. Косвенно на перспективность такого подхода указывает факт возникновения макроскопических свойств при соответствующем отношении постоянной Планка к действию на де-бройлевской длине волны. То есть макроскопические свойства с течением времени. Тогда, чтобы попытаться получить классический закон движения центра масс макроскопического тела на основе законов квантовой эволюции, целесообразно использовать волновое уравнение в интегральном по времени виде.
В качестве постулата квантовой динамики используем интегральное волновое уравнение с ядром с интегралом по траекториям. Поскольку оно непосредственно выводится из дифференциального волнового уравнения и эквивалентно последнему в отношении квантовой эволюции, определим его, как фейнмановское представление (по имени Ричарда Фейнмана, впервые опубликовавшего это уравнение). Интегральное волновое уравнение сопоставляет волновой функции частицы в начальный момент времени её волновую функцию в будущий момент времени и, получается непосредственным интегрированием дифференциального волнового уравнения по времени. Для одномерного движения это уравнение состоит из двух интегралов, один их которых – интеграл по траекториям – преобразует значение волновой функции в одной точке пространства в начальный момент времени в соответствующее значение в другой точке в конечный момент. Второй интеграл суммирует эти последние значения по всем начальным координатам. При переходе к макроскопическому телу интеграл по путям сводится к единственному пути квантовой суперчастицы, на котором действие минимально. Это демонстрируется, что называется , в книге Р.Фейнман, А.Хибс . Можно получить и математически строгий аналогичный результат, перейдя в интеграле по путям к мнимому времени, тем самым преобразуя его к вещественному виду. В этом случае можно получить строгое вещественное решение, аналитическое продолжение которого на вещественную временную ось даст традиционный результат соответствующий квазиклассическому приближению (Желающие могут найти этот вывод полностью на сайте ). Однако, эта процедура не приводит к локализации (макроскопического тела) в пространстве, что вполне естественно, поскольку интегральное волновое уравнение само по себе не даёт ничего нового с физической точки зрения по отношению к дифференциальному.
Тем не менее, принципиально иная математическая форма этого уравнения радикально изменяет ситуацию, если записать с его помощью эволюцию центра масс системы квантовых частиц макроскопического размера. Для читателей знакомых с математическим формализмом интегрального волнового уравнения скажу, что суммирование по координатам частиц системы при определении действия на пути центра масс тела макроскопических размеров, приводит к локализации центра масс в пространстве в каждый момент времен. При этом математическая процедура аналогична той, которая используется для определения единственного пути суперчастицы. Существенная разница состоит в том, что в результате этого волновая функция центра масс приобретает форму дельта-функции, то есть центр масс всегда локализован в пространстве. Дальнейшие вербальные комментарии представляются более непонятными, чем соответствующие математические выкладки (см. сайт ).
Таким образом, математика интегрального волнового уравнения однозначно утверждает, что центр масс макроскопической системы квантовых частиц всегда локализован (В случае покоя центра масс с макроскопической точки зрения макроскопические флуктуации силовых полей приводят к огромным, в микроскопическом масштабе, величинам действия для центра масс, что обеспечивает его локализацию в пространстве.) и движется по единственному пути, соответствующему принципу наименьшего действия. Это вывод универсален для любого макроскопического тела и не зависит от какого-либо взаимодействия частиц или воздействия других физических объектов. При этом квантовые частицы, составляющие тело, сохраняют все свои квантовые свойства, включая отсутствие (в общем случае) локализации.
В заключение сформулируем основной вывод: закон нерелятивистской квантовой эволюции в форме интегрального волнового уравнения с ядром в виде интеграла по путям, сам по себе, в общем виде локализует центр масс макроскопического тела в пространстве и определяет его однозначное перемещение, как единственный путь, соответствующий наименьшему действию. То есть волнового уравнения в интегральной форме вполне достаточно для предельного перехода к классической механике, и никакой-либо динамики, инициированной наблюдением, для реализации принципа соответствия не требуется.
Так что, Луна существует, увы, и без нас.
Продолжение следует.
В следующем посте будет обсуждаться фундаментальный принцип, позволяющий совместить квантовую нелокальность и принцип локального реализма.