Среди множества видов интегрируемых биллиардов интересно изучить топологические свойства вполне интегрируемого биллиарда с потенциалом Q (х, у), удовлетворяющим теореме Козлова [2], одного из обобщений математического биллиарда.
Биллиард с потенциалом Гука. Это часть плоскости, ограниченная дугами софокусных эллипсов и гипербол, в котором на материальную точку (биллиардный шар) действует точечный упругий потенциал Гука, размещённый в центре софокусного семейства квадрик.
Рассмотрим область на плоскости, ограниченную дугами софокусных парабол. Зададим направление силы тяжести перпендикулярно директрисам парабол из этого семейства. Тогда биллиард с гравитационным потенциалом в данной области является интегрируемым. В параболических координатах интегралы данной системы имеют следующий вид.
В работе [1] А. Т. Фоменко был введен новый класс биллиардов. Пусть материальная точка движется равномерно и прямолинейно внутри окружности и попадает на границу в точке х. Повернув радиус-вектор точки х на фиксированный угол а, точку на конце полученного радиус-вектора обозначим буквой у. Продолжим движение частицы из точки у по лучу, выходящему из у под тем же углом к границе, что и в точке х. В данном случае движение “по” или “против” часовой стрелки сохраняется. Другими словами, частица продолжает движение, выходя из новой точки под тем же углом и “проскальзывая” вдоль границы. На основании этого такой класс систем был назван “биллиардами с проскальзыванием на угол а”.
Рассматривается биллиард без трения с абсолютно упругим отражением внутри кольца, образованного двумя софокусными эллипсами, под действием кулоновских потенциалов, сосредоточенных в фокусах эллипсов Ух и У2, е некоторыми зарядами 71 и 72 соответственно. Благодаря результатам В. В. Козлова известно, что такой биллиард является интегрируемым по Лиувиллю в кусочногладком смысле. Автором найдена формула дополнительного первого интеграла, выписаны формулы разделяющихся переменных.