Найдены точные оценки модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе B ограниченных не обращающихся в ноль в единичном круге функций f. Получено два типа оценок: при «больших» значениях | f(0)| и при «малых» значениях | f(0)|. Первый тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем больше | f(0)|, тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Второй тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем меньше | f(0)|, тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Оба типа оценок получены при помощи методов теории подчинённых функций и теоремы Каратеодори-Тёплица для класса Каратеодори. Это стало возможным благодаря найденной связи между коэффициентами выпуклых однолистных функций (класс S0) и коэффициентами мажорирующих функций изучаемых подклассов класса B. Указаны границы применимости метода в зависимости от | f(0)| и от номера коэффициента. Дано приложение полученных результатов к теории многочленов Лаггера. Полученные результаты сравниваются с известными ранее. Методы, изложенные здесь могут быть применены на произвольных классах подчинённых функций.