Исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи Коши для линейного регулярного интегро–дифференциального уравнения типа Герасимова в банаховом пространстве. Это позволило получить критерий корректности для соответствующей линейной обратной задачи с постоянным неизвестным коэффициентом в правой части. Абстрактные результаты использованы при рассмотрении прямой и обратной начально–краевых задач для класса уравнений с интегро–дифференциальным оператором типа Герасимова по времени и полиномами от оператора Лапласа по пространственным переменным, а также при изучении однозначной разрешимости задачи Коши и линейной обратной задачи для системы обыкновенных интегро–дифференциальных уравнений. Регулярное ядро интегрального оператора в рассмотренной системе является существенно операторнозначным и задает в уравнениях системы линейные комбинации различных интегро–дифференциальных операторов
В работе доказывается существование траекторных и глобальных аттракторов для модифицированной модели Кельвина — Фойгта с учётом памяти вдоль траекторий движения жидкости. Доказательство основано на аппроксимационно– топологическом подходе к исследованию задач гидродинамики. А именно, на первом этапе приводятся необходимые функциональные пространства и даётся операторная трактовка рассматриваемой задачи. Затем вводится аппроксимационная задача и доказывается её разрешимость на конечном отрезке и на полуоси. Также при некоторых условиях на коэффициенты задачи устанавливаются экспоненциальные оценки решений, не зависящие от параметра аппроксимации. После чего на основе предельного перехода устанавливается существование слабого решения исходной задачи на полуоси. Затем определяется пространство траекторий рассматриваемой задачи, устанавливается корректность этого определения и доказывается теорема существования минимального траекторного и глобального аттракторов.