Архив статей журнала
Описан метод коллокаций для численного решения краевых задач математической физики. Особым образом расположив узлы коллокации в области решения задачи, удается значительно повысить точность численного решения за счет улучшения качества системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит решаемая краевая задача. Анализируются различные системы базисных функций. Предложенный метод позволяет получать приближенное решение краевых задач для широкого круга линейных и нелинейных эллиптических, параболических и волновых уравнений в аналитическом виде. Для подтверждения эффективности исследуемых численных методов решались двумерные и трехмерные краевые задачи для линейных и нелинейных уравнений различного типа с известными решениями. Получены зависимости погрешности численного решения от числа линейных уравнений в результирующей системе. Показано, что даже при небольшом числе уравнений в системе достигается точность решения, превышающая точность, полученную альтернативными численными методами. Исследуемый численный метод позволяет резко расширить область применения традиционных численных методов при решении прикладных задач по моделированию полей различной физической природы, описываемых линейными и нелинейными уравнениями математической физики. Разрабатываемый метод использован при решении квантово-механической задачи для иона молекулы водорода. Найденное при минимальном количестве узлов коллокаций значение энергии основного состояния иона отличается от экспериментально полученного значения на 13%, что показывает высокие потенциальные возможности метода полной коллокации, основанные на универсальности метода и высокой точности численных решений.