Архив статей журнала
Цель работы - представить преобразование метода Леверье решения полной проблемы собственных значений с видоизменением Д. К. Фаддеева, при котором достигается максимально параллельная форма преобразуемого метода с квадратично-логарифмической временной сложностью для одновременного определения коэффициентов характеристического полинома и всех собственных векторов матрицы. Показано, что данная оценка временной сложности сохраняется, если для поиска корней характеристического полинома применить параллельный метод их вычисления на основе устойчивой адресной сортировки. Предложенное преобразование опирается на элементарное приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях матриц в исходном алгоритме вычисления собственных векторов. В результате матрица всех собственных векторов, соответствующая отдельно взятому собственному значению, выражается в виде матричного полинома с числовыми коэффициентами. Рассматриваемые преобразования и их результаты относятся к случаю, когда все собственные числа матрицы различны. Метод распространяется на преобразование подобия, при этом обе матрицы преобразования выражаются в конструктивной форме. Аналогично представлена связь и структура матриц собственных векторов, отвечающих каждому собственному числу исходной матрицы, и диагональной матрицы, полученной в результате преобразования подобия. Все вычислительные операции допускают параллельное выполнение с сохранением квадратично-логарифмической оценки временной сложности для нахождения полной совокупности рассматриваемых алгебраических объектов в границах метода Леверье с видоизменением Д. К. Фаддеева. Дополнительно представлены структурные соотношения между матричными полиномами, представляющими собственные векторы, конструктивно указана связь между матрицей собственных векторов и обратной матрицей. Работа включает явные формулы собственных векторов матрицы, а также их видоизменений в случае преобразования подобия. Формулы применимы для оценки возмущений в приложениях к задачам механики.