SciNetwork › SCI Библиотека

Диссертация: ПОЛУГРУППОВЫЕ МЕТОДЫ В СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Скачать

сновной объект в теории суперструн — это мировая поверхность
13
струны, следовательно построение и изучение необратимых и полугруп-
повых обобщений супермногообразий и суперконформной дифференци-
альной геометрии представляет собой первоочередную задачу.
В этой связи чрезвычайно актуальной является также проблема
обратного влияния суперсимметрии на теорию полугрупп. Так, подроб-
ное исследование необратимых суперматриц приводит к новым и не-
ожиданным результатам в идеальном строении и теории представлений
суперматричных полугрупп, что, в свою очередь, может способство-
вать последовательному и корректному построению новых суперсимме-
тричных моделей элементарных частиц, основанных на полугрупповых
принципах

Информация о документе

Формат документа
PDF
Кол-во страниц
333 страницы
Загрузил(а)
Старцев Вадим
Старцев Вадим
Лицензия
CC BY
Доступ
Всем
Просмотров
10

Предпросмотр документа

1
2
3
331
332
333

Информация о диссертации

Место защиты (город)
Украина, Харьков
Место защиты (организация)
Харьковский государственный университет
Год публикации
1999
Автор(ы)
Дуплий Степан Анатольевич
Ключевые фразы
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ, суперсимметрия, необратимая геометрия, теория абстрактных полугрупп, диссертация
Каталог SCI
Химия
Актуальность проблемы

Построение единой теории всех фунда-
ментальных взаимодействий — электромагнитного, слабого, сильного и
гравитационного — является важнейшей теоретической проблемой со-
временной физики элементарных частиц. Существенным достижением
в этом направлении явилось развитие методов суперсимметрии и супер-
гравитации, которые позволили разрешить такие трудности предше-
ствующих суперсимметрии калибровочных теорий фундаментальных
взаимодействий (квантовой электродинамики, квантовой хромодинами-
ки и модели Вайнберга-Салама), как включение гравитации и рассмо-
трение процессов при планковских энергиях.
Нелокальное многомерное обобщение супергравитации – теория
суперструн – дала ответ на многие открытые вопросы, связанные с не-
перенормируемостью и космологической постоянной, а также с последо-
вательной унификацией всех фундаментальных взаимодействий. В те-
ории суперструн осуществился синтез разнообразных методов теорети-
ческой и математической физики. Тем не менее, дальнейший прогресс в
понимании глубинных физических основ строения материи, в свою оче-
редь, требует интенсивных поисков нестандартных путей разрешения
известных проблем и привлечения принципиально новых теоретических
идей.
Наиболее фундаментальными и общими являются абстрактные
алгебраические свойства теории, лежащей в основе физики элементар-
ных частиц. Как правило, вначале исследований такие свойства вво-
дятся с математической точки зрения и лишь затем формулируются на
11
языке физических законов и предсказаний результатов эксперимента.
Так произошло и в случае суперсимметрии: антикоммутирующие
величины рассматривались многими математиками еще начиная с про-
шлого столетия. Но лишь после открытия суперсимметрии физиками
в начале 70-х годов она превратилась из чисто математической тео-
рии в “индустриальную” основу современного “моделестроения” с фи-
зическими конструкциями и конкретными предсказаниями новых эле-
ментарных частиц — суперпартнеров. Настоящий “бум суперсимме-
тризации” потряс теоретическую физику 70-х и 80-х: все, что могло
“суперсимметризоваться”, незамедлительно “суперсимметризовалось”.
Основные ингредиенты теории после очевидных модификаций наделя-
лись приставкой “супер”, а затем построение уже суперсимметричной
модели, исключая несущественные и не принимаемые в расчет моменты,
копировались шаг за шагом из подобной несуперсимметричной версии,
и последняя обязана была быть некоторым ее непрерывным пределом.
Однако, при этом абстрактные алгебраические свойства физиче-
ской теории или вовсе не претерпевали изменений, либо влияние “супер-
симметризации” было просто символичным. Так предполагалось, что
именно супергруппы представляют собой адекватное суперобобщение
соответствующих групп. И это удивительно, поскольку среди основ-
ных переменных суперсимметричной теории изначально присутствуют
необратимые объекты и делители нуля. В частности, концепция супер-
пространства, допускающего унификацию описания бозонных и ферми-
онных секторов теории, основана на введении дополнительных нильпо-
тентных координат, тогда многие отображения и функции становятся
необратимыми по определению. И все же, как это ни странно и ни пара-
доксально с математической точки зрения, они искусственно и необосно-
ванно исключались из рассмотрения. Данная процедура была названа
“факторизацией по нильпотентам” в физике (в теории полугрупп эта
процедура хорошо известна и называется факторизацией Риса) и она (в
12
основном неаргументированно) применялась или подразумевалась при
суперсимметризациях.
На самом деле, все преобразования множества, содержащего ниль-
потенты, или все отображения суперпространства сохраняющего вид
определенной структуры образуют полугруппу (а не группу) относи-
тельно композиции. Поэтому категория групп, в рамках которой строи-
лись несуперсимметричные теории элементарных частиц, должна быть
обобщена до категории полугрупп при математически строгом включе-
нии суперсимметрии в основополагающие принципы теории.
Другими словами, переход от пространства к суперпространству
должен сопровождаться одновременным переходом от групп к супер-
полугруппам, а не супергруппам — “супер” обобщение физической тео-
рии должно сопровождаться “полу” обобщением ее математики в целом.
Тогда в глобальном теоретико-групповом смысле суперсимметричные
модели элементарных частиц обязаны иметь структуру полугруппы,
в то время, как наблюдаемый их сектор при настоящих энергиях мо-
жет удовлетворительно описываться их обратимой групповой частью.
Поэтому не следует ограничиваться исследованиями лишь последней,
поскольку свойства идеальной и групповой частей взаимообусловлены
и взаимозависимы. В этом контексте важным также является пересмотр
стандартного анзаца “факторизации”, а именно — “факторизовать по
не-нильпотентам”, т. е. изучать “негрупповые” (или идеальные) свой-
ства суперсимметричных теорий.
Таким образом, построение и исследование таких суперсимметрич-
ных моделей элементарных частиц, которые, с одной стороны, обладали
бы математической общностью и корректностью в рамках аппарата те-
ории полугрупп, а с другой стороны, имели бы достаточную физиче-
скую предсказательную силу, представляет собой актуальную научно-
теоретическую проблему.
Основной объект в теории суперструн — это мировая поверхность
13
струны, следовательно построение и изучение необратимых и полугруп-
повых обобщений супермногообразий и суперконформной дифференци-
альной геометрии представляет собой первоочередную задачу.
В этой связи чрезвычайно актуальной является также проблема
обратного влияния суперсимметрии на теорию полугрупп. Так, подроб-
ное исследование необратимых суперматриц приводит к новым и не-
ожиданным результатам в идеальном строении и теории представлений
суперматричных полугрупп, что, в свою очередь, может способство-
вать последовательному и корректному построению новых суперсимме-
тричных моделей элементарных частиц, основанных на полугрупповых
принципах

Объект исследования

Основной объект в теории суперструн — это мировая поверхность
струны, следовательно построение и изучение необратимых и полугруп-
повых обобщений супермногообразий и суперконформной дифференци-
альной геометрии представляет собой первоочередную задачу

Цель работы

Основной целью диссертационной работы является разработка и применение полугрупповых методов в суперсимметричных моделях элементарных частиц

Основные задачи
  1. Подробный анализ необратимых свойств преобразований, возника-
    ющих при суперсимметризации физических теорий.
  2. Поиск необратимых аналогов супермногообразий, расслоений и го-
    мотопий.
  3. Формулировка необратимой суперконформной дифференциальной
    геометрии и построение суперконформных полугрупп.
  4. Классификация необратимых расширенных и нерасширенных су-
    перконформных преобразований.
  5. Нахождение нелинейных реализаций необратимых суперконформ-
    ных преобразований.
  6. Всесторонний анализ суперматричных полугрупп, поиск новых пред-
    ставлений и эквивалентностей.
  7. Введение новых типов матриц, содержащих нильпотентные эле-
    менты и изучение их свойств.
  8. Построение необратимого аналога гиперболической геометрии на
    суперплоскости
Научна новизна

Научная новизна
диссертационной работы состоит в построении нового направления в
суперсимметричных моделях элементарных частиц, которое основано
на включении полугрупп, идеалов и необратимых свойств в исследо-
вание математической структуры. Впервые определены необратимые
аналоги супермногообразий, расслоений и гомотопий. Сформулирована
новая необратимая суперконформная геометрия (и ее расширенные варианты), найдены новые типы суперконформных полугрупп и преобразований, которые сплетают четность касательного расслоения. Предложена альтернативная редукция суперматриц, которая приводит к новым абстрактным свойствам, полугруппам и супермодулям. Впервые
суперматрицы используются для построения представлений полугрупп связок, при этом найдены новые обобщенные отношения Грина. Построен необратимый вариант гиперболической геометрии на суперплоскости, где найдены необратимые аналоги двойных отношений, инвариантов и расстояний

Заключение
  1. Построена теория необратимых супермногообразий — полусуперм-
    ногообразий, необратимых расслоений и гомотопий, что является
    основой математического аппарата суперсимметричных моделей
    элементарных частиц.
    а) Получена формулировка полусупермногообразий в терминах
    функций перехода, найдены обобщенные условия коцикла, но-
    вый тип ориентируемости.
    б) Предложен общий принцип полукоммутативности для необра-
    тимых морфизмов.
    в) Сформулированы необратимые аналоги расслоений — полу-
    расслоения — в терминах уравнений на функции перехода,
    изучены морфизмы полурасслоений.
    г) Введены полугомотопии с необратимым четным или нечет-
    ным суперпараметром.
  2. Построена и исследована в терминах теории полугрупп необрати-
    мая суперконформная геометрия на суперплоскости, необходимая
    для формулировки суперструнных теорий элементарных частиц.
    а) Построена супераналитическая полугруппа и дано определе-
    ние супераналитических полусупермногообразий.
    б) Рассмотрены дополнительные редукции касательного супер-
    пространства с учетом необратимости. Они приводят к обоб-
    щению понятия комплексной структуры на необратимый слу-
    чай.
    289
    в) Найдены новые необратимые преобразования — сплетающие
    четность преобразования, которые дуальны суперконформным
    в смысле полученной формулы сложения березинианов и явля-
    ются необратимым супераналогом антиголоморфных преобра-
    зований. Они вращают четность в касательном суперпростран-
    стве и приводят к появлению нового типа коциклов — спле-
    тенных коциклов. Единым образом описаны оба типа реду-
    цированных преобразований с помощью альтернативной па-
    раметризации, в которой переключение между ними произво-
    дится введенным спином редукции, равным половина и N/2
    для расширенных N -преобразований.
    г) Построена N = 1 суперконформная полугруппа, принадлежа-
    щая к новому абстрактному типу полугрупп, которые имеют
    необычную идеальную структуру. Определены обобщенные
    векторные и тензорные отношения Грина.
    д) Исследованы дробно-линейные необратимые редуцированные
    преобразования в терминах полуминоров и полуматриц, для
    которых определены функции полуперманента и полудетер-
    минанта (дуального корню из обычного детерминанта). Най-
    дена четно-нечетная симметрия дробно-линейных N = 1 су-
    перконформных преобразований, которая состоит в симметрии
    относительно одновременной замены детерминанта на полу-
    детерминант и четных координат на нечетные.
    е) Найдены необратимые супераналоги расстояния в (1|1)-мерном
    суперпространстве. Введен необратимый аналог метрики и
    показана ее полуинвариантность.
    ж) Изучены нелинейные реализации N = 1 редуцированных пре-
    образований и найден новый тип голдстино как решение, со-
    ответствующее сплетающим четность преобразованиям.
    290
    з) Исследована необратимая геометрия на N = 2 и N = 4 рас-
    ширенной суперплоскости. Построены N = 2 и N = 4 супер-
    конформные полугруппы в альтернативной параметризации.
    Обобщается на произвольное N понятие комплексной струк-
    туры на суперплоскости.
  3. Построены суперматричные полугруппы и исследованы их идеаль-
    ные свойства и нетривиальные редукции, применяемые в феноме-
    нологии суперсимметричных моделей элементарных частиц.
    а) Найдено несколько возможностей объединить антитреуголь-
    ные суперматрицы с треугольными в сэндвич-полугруппы с
    необычными свойствами.
    б) Получены новые типы нечетных супермодулей и антитранс-
    понирования, представления странной супералгебры Березина.
    в) Введены нечетные аналоги собственных чисел, характеристи-
    ческих функций и сформулирована обобщенная теорема Гами-
    льтона-Якоби.
  4. Обнаружено, что полугрупповые связки непрерывно представля-
    ются суперматричными полугруппами антитреугольного вида.
    а) Получено объединение однопараметрических полугрупп в не-
    которую нетривиальную полугруппу — скрученную прямо-
    угольную связку.
    б) Определены высшие связки и для них введены обобщения от-
    ношений Грина — тонкие и смешанные отношения эквива-
    лентности. Для них построены многомерные диаграммы.
  5. Исследованы необратимые свойства матриц, содержащих нильпо-
    тентные элементы и делители нуля и возникающих в N -расширен-
    ной суперконформной геометрии.
    291
    а) Найдена дуальность между перманентом и детерминантом и
    между минорами и алгебраическими дополнениями, предло-
    жена новая формула для обратной матрицы через перманент
    и миноры.
    б) Изучены обратимые и необратимые дробно-линейные преобра-
    зования специального вида, для которых найден новый вид
    симметрии.
    в) Построена необратимая гиперболическая геометрия на супер-
    плоскости, в которой имеется два различных инвариантных
    двойных отношения и, соответственно, два расстояния.
    Таким образом, проведенные исследования геометрических и сим-
    метрийных аспектов суперсимметричных и суперструнных моделей эле-
    ментарных частиц, полученные конкретные аналитические и общена-
    учные результаты можно квалифицировать как новое научное напра-
    вление, состоящее в построении новой модели элементарных частиц на
    основе более абстрактных категорных понятий и базовых внутренних
    структур.
    К перспективам дальнейшего развития этого направления можно
    отнести поиск новых проявлений необратимых и полугрупповых свойств
    в современной теории суперструн и супермембран, продвижение в сто-
    рону конкретных расчетов возможных дополнительных вкладов в фермионные амплитуды и наблюдаемые, а также разработка общих принципов построения суперсимметричных моделей элементарных частиц
    на основе соответствующих теорий полугрупп.
Список источников

361
P. 1177–1192.
750. Haske C., Well R. O. Serre duality on complex supermanifolds // Duke
Math. J. - 1987. - V. 54. - No 2. - P. 493–500.
751. LeBrun C., Poon Y. S., Wells R. O. Projective embeddings of complex
supermanifolds // Comm. Math. Phys. - 1990. - V. 126. - No 3. -
P. 433–452.
752. Choquet-Bruhat Y. Graded Bundles and Supermanifolds. - Naples:
Bibliopolis, 1990. - 214 p.
753. Rothstein M. Deformations of complex supermanifolds // Proc. Amer.
Math. Soc. - 1985. - V. 95. - No 2. - P. 255–260.
754. Bernstein J. Lectures on supersymmetry. - Princeton: 1996. - 22 p.
(Preprint / Ins. Adv. Study).
755. Rogers A. Integration and global aspects of supermanifolds //
Topological Properties and Global Structure of Space and Time. -
New York: Plenum Press, 1985. - P. 199–219.
756. Rogers A. Aspects to geometrical approach to supermanifold //
Mathematical Aspects of Superspace. - Dordrecht: D. Reidel, 1984.

  • P. 135–147.
  1. Rogers A. Some examples of compact supermanifolds with non-Abelian
    fundamental group // J. Math. Phys. - 1081. - V. 22. - No 3. - P. 443–
  3. Волович И. В. ∧-супермногообразия и расслоения // ДАН СССР.
      • T. 269. - No 3. - С. 524–527.
  1. Хренников А. Ю. Принцип соответствия в квантовых теориях
    поля и релятивистской бозонной струны // Мат. сборник. - 1989.
  • T. 180. - No 6. - С. 763–786.
    362
  1. Molotkov V. Infinite-dimensional Zk
    2 supermanifolds. - Trieste: 1984.
  • 52 p. (Preprint / ICTP; IC/84/183).
  1. Захаров О. А. Об определении суперпространства в теории су-
    пергравитации // Изв. вузов. Физика. - 1989. - T. 32. - No 4. -
    С. 65–70.
  2. Schmitt T. Supergeometry and quantum field theory, or: What is a
    classical configuration // Rev. Math. Phys. - 1997. - V. 9. - P. 993–
  4. Bryant P. De Witt supermanifolds and infinite-dimensional ground
    rings // J. London Math. Soc. - 1989. - V. 39. - No 2. - P. 347–368.
  5. Cianci R. Introduction to Supermanifolds. - Naples: Bibliopolis, 1990.
  • 176 p.
  1. Batchelor M. Two approaches to supermanifolds // Trans. Amer.
    Math. Soc. - 1980. - V. 258. - P. 257–270.
  2. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. - М.:
    ИЛ, 1961. - 319 с.
  3. Kashiwara M., Schapira P. Scheaves on Manifolds. - Berlin: Springer-
    Verlag, 1990. - 235 p.
  4. Boyer C. P. On the structure of supermanifolds // Symposium on
    Algebraic Topology in Honor of Jos ́e Adem. - Providence: Amer.
    Math. Soc., 1982. - P. 53–59.
  5. Batchelor M. The structure of supermanifolds // Trans. Amer. Math.
    Soc. - 1979. - V. 253. - P. 329–338.
  6. Batchelor M. Graded manifolds and supermanifolds // Mathematical
    Aspects of Superspace. - Dordrecht: Reidel, 1984. - P. 91.
  7. Прохоров Л. В. Интегралы над алгеброй Грассмана // Теор. мат.
    физ. - 1981. - T. 47. - No 2. - С. 210–215.
    363
  8. Гайдук А. В., Худавердян О. М., Шварц А. С. Интегрирование
    по поверхностям в суперпространстве // Теор. мат. физ. - 1982.
  • T. 52. - No 3. - С. 375–383.
  1. Гельфанд И. М., Минахин В. В., Шандер В. Н. Интегрирование
    на супермногообразиях и суперпреобразования Радона // Функц.
    анализ и его прил. - 1986. - T. 20. - No 4. - С. 67–69.
  2. Воронов Ф. Ф., Зорич А. В. Интегрирование на векторных рас-
    слоениях // Функц. анализ и его прил. - 1988. - T. 22. - No 2. -
    С. 14–25.
  3. Voronov T. Supermanifold forms and integration. A dual theory.
  • Moscow: 1996. - 20 p. (Preprint / Moscow State Univ.,
    dg-ga/9603009).
  1. Rogers A. Fermionic path integration and Grassmann Brownian
    motion // Comm. Math. Phys. - 1987. - V. 113. - P. 353–368.
  2. Rogers A. Consistent superspace integration // J. Math. Phys. - 1985.
  • V. 26. - No 3. - P. 385–392.
  1. Alfaro J., Urrutia L. F. Berezin integration on noncompact
    supermanifolds. - Mexico: 1998. - 5 p. (Preprint / Univ. Nac.
    Autonoma, hep-th/9810130).
  2. Kobayashi Y., Nagamachi S. The chain rule of differentiation in
    superspace // Lett. Math. Phys. - 1986. - V. 11. - No 4. - P. 293–297.
  3. Yappa Y. A. On the interpretation of anticommuting variables in the
    theory of superspace // Lett. Math. Phys. - 1987. - V. 14. - No 2. -
    P. 157–159.
  4. Яппа Ю. А. О геометрической интерпретации суперпростран-
    ства // Вестник ЛГУ. - 1988. - No 4. - С. 21–27.
  5. Penkava M., Schwarz A. On some algebraic structures arising in
    364
    string theories // Perspectives in Mathematical Physics. - Cambridge:
    International Press, 1994. - P. 219–227.
  6. Shevchishin V. A moduli space of non-compact curves on a complex
    surface. - Bochum: 1998. - 23 p. (Preprint / Univ. Bochum,
    math.CV/9807174).
  7. Белавин А. А., Книжник В. Г. Комплексная геометрия и теория
    квантовых струн // Журн. экп. и теор. физ. - 1986. - T. 91. -
    С. 364–390.
  8. Knizhnik V. G. Analytic fields on Riemann surfaces.2 // Comm.
    Math. Phys. - 1987. - V. 112. - P. 567–590.
  9. Knizhnik V. G. Analytic fields on Riemann surfaces // Quantum
    String Theory. - Berlin: Springer-Verlag, 1987. - P. 120–131.
  10. Delduc F., Gieres F., Gourmelen S., Theisen S. Non-standard matrix
    formats of Lie superalgebras. - M ̈unchen: 1999. - 19 p. (Preprint /
    Max-Planck-Inst.; MPI-PhT/98-94, math-ph/9901017).
  11. Abramov V., Kerner R., Le Roy B. Hypersymmetry: a Z3 -graded
    generalization of supersymmetry // J. Math. Phys. - 1997. - V. 38. -
    P. 1650–1669.
  12. Le Roy B. A Z3 -graded generalization of supermatrices // J. Math.
    Phys. - 1996. - V. 37. - P. 474–483.
  13. Sergeev A. The center of enveloping algebra for Lie superalgebra
    Q(n, C) // Lett. Math. Phys. - 1983. - V. 7. - P. 177–179.
  14. Shander V. Invariant functions on supermatrices. - Stockholm: 1998.
  • 24 p. (Preprint / Univ. Stockholm, math.RT/9810112).
  1. Sergeev A. The invariant polynomials on simple Lie superalgebras.
  • Stockholm: 1998. - 28 p. (Preprint / Univ. Stockholm,
    math.RT/9810111).
    365
  1. Sergeev A. Orthogonal polynomials and Lie superalgebras. -
    Stockholm: 1998. - 7 p. (Preprint / Univ. Stockholm,
    math.RT/9810110).
  2. Sergeev A. An analog of the classical invariant theory for Lie
    superlagebras. - Stockholm: 1998. - 25 p. (Preprint / Univ. Stockholm,
    math.RT/9810113).
  3. Yamada M. Construction of commutative z -semigroups // Proc.
    Japan Acad. - 1964. - V. 40. - P. 94–98.
  4. Sergeev A. An analog of the classical invariant theory for Lie
    superlagebras. II. - Stockholm: 1999. - 25 p. (Preprint / Univ.
    Stockholm, math.RT/9904079).
  5. Nazarov M. Yangian of the queer Lie superalgebra. - York: 1999. -
    28 p. (Preprint / Univ. York, math.QA/9902146).
  6. Olshanski G. Quantized universal enveloping superalgebra of type Q
    and a super-extension of the Hecke algebra // Lett. Math. Phys. -
    • V. 24. - P. 93–102.
  8. Bernstein J., Leites D. Irreducible representations of type Q, odd trace
    and odd determinant // C. R. Acad. Bulg. Sci. - 1992. - V. 35. - No 3.
  • P. 285–286.
  1. Kuroki N. Fuzzy generalized bi-ideals in semigroups // Inform. Sci. -
    • V. 66. - No 3. - P. 235–243.
  3. Spoottiswoode W. On determinants of alternative numbers // Proc.
    London Math. Soc. - 1872. - V. 7. - P. 100–112.
  4. Bershadsky M., Lerche W., Nemeschansky D., Warner N. P. Extended
    N = 2 superconformal structure of gravity and W gravity coupled to
    matter // Nucl. Phys. - 1993. - V. B401. - P. 304–347.
  5. Kac V. G., van de Leur J. W. Super boson-fermion correspondence
    366
    // Ann. Inst. Fourier. - 1987. - V. 37. - P. 99–137.
  6. Dereli T., ̈Onder M., Tucker R. W. Signature transitions in quantum
    cosmology // Class. Q. Grav. - 1993. - V. 10. - No 8. - P. 1425–1434.
  7. Sakharkov A. D. Cosmological transitions with a change in metric
    signature. - Stanford: 1984. - 24 p. (Preprint / SLAC; SLAC TRANS-
    0211).
  8. Dray T., Manoque C. A., Tucker R. W. The scalar field equation in
    the presence of signature change // Phys. Rev. - 1993. - V. D48. -
    P. 2587–2590.
  9. Гельфанд И. М., Ретах В. С. Детерминанты матриц над анти-
    коммутативными кольцами // Функц. анализ и его прил. - 1991.
  • T. 25. - No 2. - С. 91–102.
  1. Гельфанд И. М., Ретах В. С. Теория некоммутативных детерми-
    нантов и характеристических функций графов // Функц. анализ
    и его прил. - 1993. - T. 26. - No 4. - С. 231–246.
  2. Etingof P., Retakh V. Quantum determinants and quasideterminants.
  • Cambridge: 1998. - 8 p. (Preprint / Harvard Univ.,
    math.QA/9808065).
  1. Gelfand I., Krob D., Lascoux A., Leclerc B., Retakh V., Thibon Y.-J.
    Noncommutative symmetric functions // Adv. Math. - 1995. - V. 112.
  • No 2. - P. 218–348.
  1. Ueno K., Yamada H., Ikeda K. Algebraic study of the super-KP
    hierarchy and the ortho-symplectic super-KP hierarchy // Comm.
    Math. Phys. - 1989. - V. 124. - P. 57–78.
  2. Kulikov V. S. Jacobian conjecture and nilpotent mappings. - Moscow:
    • 10 p. (Preprint / Steklov Math. Inst., math.AG/9803143).
  4. Berkovits N. Supersheet functional integration and the calculation
    367
    of N.S.R. scattering amplitudes involving arbitraly many external
    Ramond string. - Chicago: 1988. - 17 p. (Preprint / Enrico Fermi
    Inst.; EFI 88-87).
  5. Berkovits N. Supersheet functional integration integration and the
    integracting Neveu-Schwarz string // Nucl. Phys. - 1988. - V. B304.
  • No 3. - P. 537–556.
  1. Vaintrob A. Y. Deformations of complex structures on supermanifolds
    // Seminar on Supermanifolds. - V. 24. - No 6. - Stockholm: Univ.
    Stockholm, 1987. - P. 1–139.
  2. Ninnemann H. Deformations of super Riemann surfaces // Comm.
    Math. Phys. - 1992. - V. 150. - No 2. - P. 267–288.
  3. Falqui G., Reina C. A note on global structure of supermoduli spaces
    // Comm. Math. Phys. - 1990. - V. 128. - No 2. - P. 247–261.
  4. Kodaira K., Spenser D. C. Multifoliate structures // Adv. Math. -
    • V. 74. - No 1. - P. 52–100.
  6. Kodaira K. Complex Manifolds and Deformations of Complex
    Structure. - Berlin: Springer-Verlag, 1986. - 312 p.
  7. Burns D. Some background and examples in deformation theory //
    Complex Manifold Techniques in Theoretical Physics. - London:
    Pitman, 1979. - P. 135–165.
  8. Spenser D. Deformation of structures on manifolds defined by
    transitive continuos pseudogroups // Ann. Math. - 1962. - V. 76.
  • No 2. - P. 306–312.
  1. de Montigny M., Patera J. Discrete and continuous graded
    contractions of Lie algebras and superalgebras // J. Phys. - 1991. -
    V. A24. - P. 525–548.
  2. Moody R. V., Patera J. Discrete and continuous graded contractions
    368
    of representations of Lie algebras // J. Phys. - 1991. - V. A24. -
    P. 2227–2258.
  3. Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической
    топологии. - М.: Наука, 1989. - 336 с.
  4. Постников М. М. Дифференциальная геометрия. - М.: Наука,
    • 496 с.
  6. Baranov A. M., Manin Y. I., Frolov I. V., Schwarz A. S. A superanalog
    of the Selberg trace formula and multiloop contributions for fermionic
    strings // Comm. Math. Phys. - 1987. - V. 111. - No 3. - P. 373–392.
  7. Ekstrand C. Z2 -Graded cocycles in higher dimensions // Lett. Math.
    Phys. - 1998. - V. 43. - P. 359–378.
  8. Ekstrand C. Neutral particles and super Schwinger terms. -
    Stockholm: 1999. - 13 p. (Preprint / Royal Inst. Technology,
    hep-th/9903148).
  9. LeBrun C., Rothstein M. Moduli of super Riemann surfaces // Comm.
    Math. Phys. - 1988. - V. 117. - No 1. - P. 159–176.
  10. Воронов А. А. Формула для меры Мамфорда в теории суперструн
    // Функц. анализ и его прил. - 1988. - T. 22. - No 2. - С. 67–68.
  11. Bershadsky M., Radul A. Fermionic fields on ZN -curves // Comm.
    Math. Phys. - 1988. - V. 116. - No 4. - P. 689–700.
  12. McArtur I. N. An obstruction to factorization of determinants on
    super-Teichm ̈uller parameters in (1, 0) supergravity // Nucl. Phys.
      • V. B296. - P. 929–954
SciNetwork › SCI Библиотека