Статья: Операционный и безоперационный методы получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений в частных производных для нанопластин. Часть III (2026)

В работе рассмотрен метод решения интегральных уравнений задач о возбуждении гармонических колебаний в пакете слоев со свободной верхней гранью и жестко соединенной с недеформируемым основанием нижней, вызванных вибрацией берегов трещины конечных размеров. Для решения интегрального уравнения после преобразования его интегрального оператора использован метод фиктивного поглощения. Представлены результаты модельных расчетов для интегрального уравнения осесимметричной задачи о вибрации интерфейсной трещины отрыва в двухслойном упругом пакете. Развитые методы решения интегральных уравнений статических задач и задач для сред с поглощением, а также сильно вязких сред с неизменными во времени свойствами могут служить для построения вспомогательных решений, используемых в методе фиктивного поглощения. При этом точность получаемых в результате применения метода фиктивного поглощения приближенных решений определяется точностью решений статических задач.

В работе расматривается задача моделирования процессов возбуждения и распространения бегущих упругих волн в многослойном анизотропном волноводе пленочным пьезопреобразователем, расположенным на поверхности волновода или интегрированным между его слоями. Для ее решения в случае плоской деформации развивается гибридный численно-аналитический подход, основанный на сопряжении конечно-элементного решения в ограниченной области, содержащей пьзоактуатор, с представлениями волновых полей в однородных частях многослойного волновода в виде суперпозиции нормальных мод. Приводятся результаты численной верефикации разработанной компьютерной модели и примеры ее использования для параметрического анализа волновой динамики слоистого композитного материала с перекресной схемой укладки трансверсально-изотропных слоев, демонстрирующие влияние глубины размещения пьезопреобразователя на распределение энергии между отдельными нормальными модами.

В линейной постановке исследуются неустановившиеся трехмерные колебания ледяного покрова, которые вызваны источником давлений переменной интенсивности. Ледяной покров моделируется тонкой упругой изотропной пластинкой, плавающей на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Полученное методом интегральных преобразований Фурье и Лапласа выражение для возвышения поверхности пластина – жидкость исследуется методом стационарной фазы для многомерных интегралов. Изучается влияние скорости движения источника и частоты его колебаний на передние фронты образующихся изгибно-гравитационных волн.

В работе на примере модели переноса пассивной примеси рассматриваются вариационные алгоритмы идентификации мощности мгновенного источника загрязнений на поверхности моря. Решение такой задачи возможно несколькими вариационными подходами. Один из них — это алгоритм, основанный на вариационных принципах и решении сопряженных задач, а в случае точечного мгновенного источника возможно применение упрощенного алгоритма, основанного на методе линеаризации. Отметим, что свойства применяемых при этом алгоритмов могут в значительной степени быть улучшены за счет выбора оптимальной схемы измерений, т. е. оптимальных планов. С математической точки зрения под оптимальным планом понимается набор точек измерений, распределенных по пространству и времени, дающий лучшую обусловленность решаемой задачи. Информационная матрица Якоби строится с использованием решений серии сопряженных задач. Известно, что измерения поля концентрации, которые производятся в точках максимальных значений, приводит к повышению обусловленности решаемой задачи и более быстрой сходимости итерационного процесса. Алгоритм построения информационной матрицы Фишера представлен для случая трехмерной модели переноса пассивной примеси в Азовском море. Рассматривается действие мгновенного точечного источника загрязнения. Результаты могут быть использованы для решения различных задач экологической направленности при изучении воздействия источников загрязнения антропогенного характера в акваториях Азовского и Черного морей.

Работа посвящена вопросам термоупругости термоупругого цилиндра эллиптического сечения. В ней рассматривается задача о распределении температурного поля тела эллиптического сечения с внутренним источником теплоты при внешнем теплообмене и поступающим тепловым потоком с другой стороны. Для её решения в работе рассматривается решение уравнения Лапласа в эллиптической системе координат. Основным методом является метод Фурье. Полученное выражение температурного поля цилиндра позволило определить возникающие внутренние термонапряжения. Полученный результат может быть использован в инженерных расчётах теплообменных аппаратов и солнечных коллекторов.

В настоящей работе представлен комплексный подход к анализу напряженнодеформированного состояния трансверсально-изотропных тел вращения, которые находятся под воздействием установившегося температурного поля, изменяющегося по гармоническому закону в цилиндрической системе координат. Методика, предложенная в работе, основывается на предположении о равновесном температурном поле, которое известно во всей области тела. Кроме того, внутри тела отсутствуют источники тепла, что позволяет избежать дополнительных сложностей, связанных с тепловыми потоками и эффектами теплообмена. Для решения данной задачи применяется метод граничных состояний, который позволяет эффективно моделировать деформации и напряжения внутри материала. В рамках этого метода рассматриваются перемещения внутренних точек тела, а также соответствующие им деформации и напряжения, а также температурные функции. Интегральные наложения помогают установить связь между пространственным напряженно-деформированным состоянием упругого трансверсально-изотропного тела и вспомогательными двумерными состояниями, которые зависят от двух координат. Такие вспомогательные состояния рассматриваются как общее решение плоской статической задачи термоупругости для трансверсально-изотропных материалов. На основе этих состояний с помощью переходных формул строится базис пространственных неосесимметричных состояний. Последний позволяет разложить искомое состояние в ряды Фурье, при этом коэффициенты этих рядов представляют собой квадратуры.

В работе впервые строится точное решение контактных задач о действии остроугольных клиновидных в плане штампов на анизотропную композитную многослойную среду. Применяется метод блочного элемента в сочетании с топологическими и факторизационными подходами, позволившими преодолеть проблему решения контактных задач в двумерной клиновидной области. Достижение этого результате достигается путем предварительного построения точного решения двумерного интегрального уравнения Винера–Хопфа, с последующим построением гомеоморфизмов клиновидных носителей. Построенное решение открыло возможность не только для изучения конструкционных свойств многокомпонентных анизотропных композитов, контактирующих с жесткими штампами указанной формы, но также и для исследования прочности и разрушения блочных структур разно размерных блоков и включений, возникающих в сейсмологии. Кроме этого, решение поставленной задачи открыло возможность создания нового типа излучателей и преобразователей поверхностных волн, ранее не описанных, для клиновидных областей, что может оказаться полезным в проблемах электроники акустики и наноматериалах.

В данной работе авторами разработана методика диагностики технического состояния газоперекачивающих агрегатов (ГПА), направленная на анализ жесткостных параметров системы. Для моделирование динамического поведения агрегата получена математическая модель, описывающая систему трех связанных гармонических осцилляторов. На основе экспериментальных данных — спектра виброскорости, зарегистрированного на компрессорной станции, численно определены жесткостные параметры системы. Введена безразмерная диагностическая комбинация, зависящая от коэффициентов жесткости упругих связей между соединениями элементов системы. Отклонение значения безразмерной комбинации в процессе эксплуатации газоперекачивающего агрегата позволяет выявлять такие дефекты, как износ вкладышей подшипников, увеличение зазоров, снижение демпфирующих свойств масляного клина и ослабление опорных соединений. Предложенная методика обеспечивает возможность неразрушающего контроля ГПА без вывода из эксплуатации, способствуя повышению надёжности и предотвращению аварий на компрессорных станциях магистральных газопроводов.