АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА ОТ ОДНОЙ ИЛИ ДВУХ НЕИЗВЕСТНЫХ (2021)
Здесь дается описание алгоритмов и программного обеспечения для двух новых методов решения полиномиальных уравнений, основанных на построении выпуклого многоугольника. Первый метод позволяет находить приближенные корни многочлена с помощью многоугольника Адамара. Второй метод позволяет находить ветви алгебраической кривой вблизи ее особой точки и вблизи бесконечности с помощью многоугольника Ньютона и строить эскизы вещественных алгебраических кривых на плоскости. Указаны соответствующие геометрии и алгоритмы компьютерной алгебры, которые позволяют анализировать любые сложные случаи.
Идентификаторы и классификаторы
- eLIBRARY ID
- 46385985
Здесь излагается два новых метода решения полиномиальных уравнений, основанных на построении выпуклого многоугольника по полиному. Первый метод позволяет находить приближенные корни многочлена с помощью многоугольника Адамара (раздел 4). Второй метод позволяет находить ветви алгебраической кривой вблизи ее особой точки и вблизи бесконечности с помощью многоугольника Ньютона (раздел 5). Он также позволяет строить эскизы вещественных алгебраических кривых на плоскости. Эти методы обобщаются на большие размерности [1]. Описанию методов предшествуют подготовительные разделы 2 и 3. В разделе 2 дается обзор методов решения полиномиального уравнения разных геометрий: евклидовой, аффинной, проективной, алгебраической и указано место новой степенной геометрии [2], которая является основной в дальнейшем исследовании. В разделе 3 напоминаются определения и свойства выпуклых многогранников и многоугольников. Все алгоритмы снабжены описанием их программной реализации в различных системах компьютерной алгебры. Изложение сопровождается примерами.
Список литературы
- Брюно А.Д. Алгоритмы решения одного алгебраического уравнения // Программирование. 2019. Т. 45. № 1. С. 59-72. EDN: YVCLQT
- Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1998. 288 с.
- Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: В 2-х томах / Под ред. Постников М.М. М.: Наука, 1989. Т. 1. 456 с.
- Ефимов Н.В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. EDN: RBBEJR
- Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. М.: Наука, 1986. 304 с.
- Юнг Д.В. Проективная геометрия. М.: ИЛ, 1949. 186 с.
- Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: МЦНМО, 2007. 590 с. EDN: SDSFEB
- Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 252 с.
- Брюно А.Д., Батхин А.Б. Разрешение алгебраической сингулярности алгоритмами степенной геометрии // Программирование. 2012. № 2. С. 12-30. EDN: OYDYIB
-
Брюно А.Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // УМН. 2004. Т. 57. № 3 (357). С. 31-80. EDN: LIHMSD
-
Брюно А.Д., Шадрина Т.В. Осесимметричный пограничный слой на игле // Труды ММО. 2007. Т. 68. С. 224-287.
-
Брюно А.Д., Горючкина И.В. Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве // Труды ММО. 2010. Т. 71. С. 6-118.
-
Брюно А.Д. Разложение решений обыкновенного дифференциального уравнения в трансряды // ДАН. 2019. Т. 484. № 3. С. 36-39. EDN: ETJLCY
-
Gallier J. Geometric Methods and Applications. For Computer Science and Engineering. New York, Dordrecht, Heidelberg, London: Springer, 2011.
-
Barber C.B., Dobkin D.P., Huhdanpaa H.T. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM Trans. on Mathematical Software. 1996. V. 22. № 4. P. 469-483.
-
Батхин А.Б., Брюно А.Д., Варин В.П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем // Прикл. мат. мех. 2012. Т. 76. № 1. С. 80-133. EDN: OWOHAR
-
Thompson I. Understanding Maple. Cambridge University Press, 2016. 228 p.
-
The Sage Developers. SageMath, the Sage Mathematics Software System (Version 9.1.1), 2020. https://www.sagemath.org.
-
Fukuda K. cdd, cddplus and cddlib homepage. McGill University, Montreal, Canada, 2002. Access mode: http://www.cs.mcgill.ca/~fukuda/software/cdd_home/cdd.html.
-
Bagnara R., Hill P.M., Zaffanella E. The Parma Polyhedra Library: Toward a Complete Set of Numerical Abstractions for the Analysis and Verification of Hardware and Software Systems // Science of Computer Programming. 2008. V. 72. № 1-2. P. 3-21. EDN: XVSEGM
-
Aaron Meurer, Christopher P. Smith, Mateusz Paprocki et al. SymPy: symbolic computing in Python // PeerJ Computer Science. 2017. V. 3. P. e103. Access mode:. DOI: 10.7717/peerjcs.103
-
Bruce King R. Beyond the quartic equation. Boston: Birkhäser, 1996. 149 p.
-
Умемура Х. Решение алгебраических уравнений с помощью тэта-констант / В кн. Мамфорд, Д. Лекции о тэта-функциях. Пер. с англ. М.: Наука, 1988. С. 362-370.
-
Hadamard J. Etude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considéro par Riemann // Journal de mathématiques pures et appliquos 4e série. 1893. V. 9. P. 171-216.
-
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1956. 431.
-
Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002. 72 с.
-
Gathen J. von zur, Lücking T. Subresultants revisited // Theoretical Computer Science. 2003. V. 297. P. 199-239. EDN: LSVFOF
-
Батхин А.Б. Параметризация дискриминантного множества вещественного многочлена // Программирование. 2016. Т. 42. № 2. С. 8-21. EDN: VWHVXP
-
Акритас А.Г. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994. 544 с.
-
Puiseux V. Recherches sur les fonctions algлriques // Journal de mathématiques pures et appliquos 1re série. 1850. V. 15. P. 365-480.
-
Гурса Э. Курс математического анализа. М.-Л.: ГТТИ, 1933. Т. 1. 235 с.
-
Hoeij M. Rational parametrizations of algebraic curves using a canonical divisor // J. Symbolic Computation. 1997. V. 23. P. 209-227.
-
Wolfram S. The Mathematica Book. Wolfram Media, Inc. 2003. 1488 p.
-
Кокс Д., Литтл Д., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000. 687 с.
-
Зобова И. Геометрические методы решения полиномиальных уравнений // Материалы XIX Международной научной конференции школьников "Колмогоровские чтения", 5-8 мая 2019, МАТЕМАТИКА. М.: Специализированный учебно-научный центр (факультет) - школа-интернат имени А.Н. Колмогорова МГУ. 2019. С. 15-16.
Выпуск
АНАЛИЗ И ТРАНСФОРМАЦИЯ ПРОГРАММ
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
АНАЛИЗ ДАННЫХ
ТЕОРИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ: ФОРМАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ И СЕМАНТИКА
Другие статьи выпуска
Непрерывно-временные сети Петри (НВСП), где каждому переходу сети ставится в соответствие временной интервал его срабатывания, используются для моделирования сложных параллельных систем, критичных с точки зрения безопасности. В общем случае, пространство состояний НВСП бесконечно и несчетно и, следовательно, анализ их поведения довольно сложен. ‘Истинно параллельная’ семантика представляет поведение НВСП в виде набора действий, отношение причинной зависимости между которыми моделируется частичным порядком, а отношение параллелизма – отсутствием порядка. Такое представление является более приемлемым для изучения следующих свойств параллельных систем: отсутствие тупиков, ‘справедливость’ (fairness), максимальный параллелизм и т.д. В статье вводятся и исследуются семантики шага (множества параллельных действий) и частичного порядка (множества упорядоченных по причине и параллельных действий) в контексте НВСП, поведение которых определяется слабой временной стратегией (т.е. ход модельного времени не ограничен срабатыванием переходов сети) и устойчиво атомарной техникой сброса часов (т.е. при сбросе часов срабатывание переходов сети рассматривается как атомарное действие).
Предложены шесть методов бинаризации алгоритма стаи ласточек для решения задачи отбора признаков по методу обертки. Эффективность выбранных подмножеств признаков оценивается двумя классификаторами: нечетким классификатором и классификатором на основе k-ближайших соседей. При поиске оптимального подмножества признаков учитывались количество признаков и точность классификации. Разработанные алгоритмы протестированы на наборах данных из репозитория KEEL. Для статистической оценки методов бинаризации использовался двухфакторный дисперсионный анализ Фридмана для связных выборок. Лучшие способности к отбору признаков показал гибридный метод, основанный на методе модифицированных алгебраических операций и введенной нами операции MERGE. Лучшая точность классификации получена с использованием метода V-образной функции трансформации.
За последние годы популярность языка Go значительно возросла. Вместе с тем в настоящее время для языка Go существуют только легковесные статические анализаторы. Мы восполнили этот пробел, адаптировав статический анализатор Svace для поиска ошибок в программах на языке Go. Нами был реализован межпроцедурный и межмодульный статический анализатор имеющий чувствительность к потоку и путям. Для оценки результатов использовалось 10 проектов с открытым исходным кодом. 16 оцениваемых детекторов выдали 6817 предупреждений с 76 срабатываний.
В работе строится вычислительно эффективная реализация алгоритма Брейди расчета быстрого преобразования Хафа (БПХ) на отечественном сопроцессоре СРСА, входящем в состав системы-на-кристалле 1890ВМ9Я “КОМДИВ128-М”. Показывается, что БПХ находит широкое применение в задачах анализа изображений, от зрительных систем беспилотного транспорта до вычислительной рентгеновской томографии. Приводится и анализируется с точки зрения низкоуровневой имплементации классическая рекурсивная реализация БПХ. Впервые рассматривается более эффективный нерекурсивный вариант алгоритма, для которого проводится анализ нагрузки на вычислители и память сопроцессора, а также экспериментальные замеры производительности. Показывается, что теоретически возможная производительность нерекурсивного алгоритма на СРСА составляет 800 Мопс, при этом максимально достижимая на практике производительность составила 470 Мопс, а максимальное полученное экспериментально значение оказалось 406 Мопс. При этом загрузка вычислителей сопроцессора достигла 18%. Таким образом, несмотря на относительно малое число арифметических операций в методе, использование сопроцессора оказывается целесообразным.
Издательство
- Издательство
- ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- 121099 г. Москва, Шубинский пер., 6, стр. 1
- Юр. адрес
- 121099 г. Москва, Шубинский пер., 6, стр. 1
- ФИО
- Николай Николаевич Федосеенков (Директор)
- E-mail адрес
- info@naukapublishers.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 2767735