ПРОЦЕДУРЫ ПОИСКА УСЕЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМИ И УСЕЧЕННЫМИ СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ В РОЛИ КОЭФФИЦИЕНТОВ (2021)
Предлагается пакет символьного построения экспоненциально-логарифмических решений таких линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут иметь неполностью заданные (усеченные) коэффициенты – степенные ряды, для которых известны только начальные члены. Входящие в решения ряды также представляются конечным числом начальных членов. Для каждого такого ряда вычисляется максимально возможное число начальных членов, полностью определенных известными начальными фрагментами коэффициентов уравнения. При этом степень усечения каждого из этих рядов не может превосходить заданной пользователем величины. Последнее обеспечивает окончание вычисления и тогда, когда по известным фрагментам коэффициентов уравнения может быть определено любое число членов рядов, входящих в решения.
Идентификаторы и классификаторы
- eLIBRARY ID
- 44652420
В [1] был предложен алгоритм построения формальных экспоненциально-логарифмических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в роли коэффициентов которых выступают усеченные степенные ряды вида a(x) + + , где a(x) – полином, . Вместе с алгоритмом была описана и его предварительная реализация, выполненная с целью проверки работоспособности предложенного алгоритма. Статья [1] была продолжением статей [2, 3], где также рассматривалось построение решений уравнений с усеченными коэффициентами.
Как уже говорилось в [3], А.Д. Брюно в [4] предложил метод, также основанный на многоугольнике Ньютона, который для рядов, входящих в решения, позволяет найти любое число членов. Уравнения, в общем случае, – нелинейные, заданные полностью с помощью полностью (явно) заданных аналитических функций одной или нескольких переменных. Очевидно, это другая задача.
Список литературы
- Абрамов С.А., Рябенко А.А., Хмельнов Д.Е. Усеченные ряды и формальные экспоненциально-логарифмические решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 10. С. 1664-1675. EDN: RYPRMS
- Абрамов С.А., Рябенко А.А., Хмельнов Д.Е. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и усеченные ряды // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 10. С. 66-77. EDN: IKHPYK
- Абрамов С.А., Рябенко А.А., Хмельнов Д.Е. Регулярные решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и усеченные ряды // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 1. С. 4-17. EDN: AHLUDF
- Брюно А.Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения // Успехи математических наук. 2004. Т. 59. Вып. 3 (357). С. 31-80.
- Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
- Malgrange B. Sur la réduction formelle des équations différentielles a singularités irrégulières. Université Scientifique et Médicale de Grenoble. 1979.
- Tournier E. Solutions formelles d’équations différentielles. Le logiciel de calcul formel DESIR Étude théorique et rélisation // Thèse d’État. Université de Grenoble. 1987.
- Barkatou M. Rational Newton algorithm for computing formal solutions of linear differential equations // Lecture Notes in Computer Science. 1989. V. 358. P. 183-195.
- Баркату М., Ришар-Жюнг Ф. Формальные решения линейных дифференциальных и разностных уравнений // Программирование. 1997. № 2. С. 24-42.
-
Lutz D.A., Schäfke R. On the identification and stability of formal invariants for singular differential equations // Linear Algebra And Its Applications. 1985. V. 72. P. 1-46.
-
Frobenius G. Integration der linearen Differentialgleichungen mit veränder Koefficienten // J. für die reine und angewandte Mathematik. 1873. V. 76. P. 214-235.
-
Heffter L. Einleitung in die Theorie der linearen Differentialgleichungen. Leipzig: Teubner, 1894.
-
Abramov S.A., Barkatou M.A., Pfluegel E. Higher-order linear differential systems with truncated coefficients // In Proc. of CASC'2011. 2011. P. 10-24.
-
Абрамов С.А., Рябенко А.А., Хмельнов Д.Е. Процедуры поиска локальных решений линейных дифференциальных систем с бесконечными степенными рядами в роли коэффициентов // Программирование. 2016. № 2. С. 75-86. EDN: VWHWAH
-
Абрамов С.А., Рябенко А.А., Хмельнов Д.Е. Процедуры поиска лорановых и регулярных решений линейных дифференциальных уравнений с усеченными степенными рядами в роли коэффициентов // Труды ИСП РАН. 2019. Т. 31. № 5. С. 233-248. EDN: PBSETA
-
Abramov S., Khmelnov D., Ryabenko A. Truncated and infinite power series in the role of coefficients of linear ordinary differential equations // In Proc. of CASC'2020 Lecture Notes in Computer Science. 2020. V. 12291. P. 63-76..
-
Maple online help //http://www.maplesoft.com/support/help.
-
Страница пакета TruncatedSeries //http://www.ccas.ru/ca/TruncatedSeries.
Выпуск
Другие статьи выпуска
На основе рекуррентных формул Ньютона приведен алгоритм построения результанта двух целых функций, что является одним из методов исключения неизвестных для систем неалгебраических уравнений. Алгоритм реализован в системе компьютерной алгебры Maple. Приведены примеры, демонстрирующие работу данного алгоритма.
В последнее время на место основного языка научных и инженерных расчетов выдвигается язык Julia. У ряда пользователей возникает желание работать полностью внутри “экосистемы” Julia, подобно тому, как происходит работа в “экосистеме” Python. Для Julia существуют библиотеки, покрывающие большинство потребностей научно-инженерных расчетов. Перед авторами возникла необходимость использовать символьные вычисления для задач математического моделирования. Поскольку основным языком реализации численных алгоритмов мы выбрали язык Julia, то и задачи компьютерной алгебры хотелось бы решать на этом же языке. Авторы выделили основные функциональные области, задающие разные варианты применения систем компьютерной алгебры. В каждой из областей нами выделены наиболее характерные представители систем компьютерной алгебры на Julia. В результате авторы делают вывод, что в рамках “экосистемы” Julia возможно (и даже удобно) использовать системы компьютерной алгебры.
Рассматривается поведение квантовой запутанности в процессе унитарной эволюции в конструктивных моделях многокомпонентных квантовых систем. Описываются группы симметрий квантовых систем, допускающих возникновение геометрических структур, ассоциированных с квантовой запутанностью. Алгоритмы моделирования динамики квантовой запутанности основаны на методах компьютерной алгебры и вычислительной теории групп. Приводятся примеры конкретных вычислений.
В статье предложены два наиболее простых метода определения положений равновесия спутника, движущегося в центральном ньютоновом силовом поле по круговой орбите под действием гравитационного момента. В первом методе применялись подходы линейной алгебры, во втором алгоритмы компьютерной алгебры. Положения равновесия спутника в орбитальной системе координат при заданных значениях главных центральных моментов инерции определяются корнями системы нелинейных алгебраических уравнений. Для определения равновесных решений проводилась декомпозиция системы алгебраических уравнений с применением методов линейной алгебры и алгоритмов построения базисов Гребнера. Положения равновесия спутника определялись путем исследования числа действительных корней алгебраических уравнений из полученных базисов Гребнера. С использованием предложенного подхода показано, что спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите 24 положения равновесия.
Факторизация полиномов – классическая алгоритмическая проблема алгебры, имеюшая широкий спектр приложений. Особый интерес представляет факторизация над конечными полями, среди которых поле порядка два является, вероятно, наиболее важным в связи с представлением булевых функций полиномами Жегалкина. В частности, факторизация булевых полиномов соответствует конъюнктивной декомпозиции булевых функций, заданных в алгебраической нормальной форме. Кроме того, факторизация дает решение проблемы декомпозиции функций, заданных в СДНФ и позитивных ДНФ, а также декартовой декомпозиции реляционых данных. Эти приложения демонстрируют важность разработки быстрых алгоритмов факторизации. В статье мы рассматриваем некоторые недавно предложенные алгоритмы факторизации полиномиальной сложности и описываем параллельную MIMD-реализацию, которая использует как параллелизм уровня задачи, так и параллелизм уровня данных. Мы представляем эксперименты, выполненные на бенчмарках логического синтеза и на синтетических (случайных) полиномах, которые показывают значительное ускорение факторизации. В заключение представлены результаты тестирования параллельной реализации алгоритма на массивнопараллельной многоядерной архитектуре (Redefine).
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с невырожденной линейной частью в общем и гамильтоновом случаях ставится задача отыскания инвариантных координатных подпространств в координатах ее нормальной формы, вычисленной вблизи положения равновесия. Приведены условия существования таких инвариантных подпространств в терминах резонансных соотношений между собственными числами линейной части системы. Дан алгоритм поиска резонансных соотношений между собственными числами без их явного вычисления, который существенно использует методы компьютерной алгебры и q-аналог субрезультантов многочлена. Обсуждается его реализация в трех распространенных системах компьютерной алгебры – Mathematica, Maple и SymPy. Приведены содержательные модельные примеры.
Издательство
- Издательство
- ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- 121099 г. Москва, Шубинский пер., 6, стр. 1
- Юр. адрес
- 121099 г. Москва, Шубинский пер., 6, стр. 1
- ФИО
- Николай Николаевич Федосеенков (Директор)
- E-mail адрес
- info@naukapublishers.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 2767735