МУЛЬТИПОЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА (2021)
Рассматривается задача построения эффективного численного алгоритма решения дробно-дифференциального обобщения неоднородного уравнения Гельмгольца с дробной степенью оператора Лапласа. Построено мультипольное разложение, основанное на факторизации фундаментального решения рассматриваемого уравнения. Предложен способ нахождения значений функций Фокса, входящих в представленное мультипольное разложение. Разработана модификация мультипольного алгоритма для решения рассматриваемого дробно-дифференциального обобщения уравнения Гельмгольца. Приведены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие эффективность предложенных алгоритмов.
Идентификаторы и классификаторы
- eLIBRARY ID
- 46169016
Для описания различных физических процессов, в которых наблюдаются эффекты памяти (нелокальность по времени) или дальние пространственные взаимодействия (пространственная нелокальность), могут быть эффективно использованы математические модели с интегро-дифференциальными операторами дробного порядка [1, 2]. Подобные эффекты нелокальности могут наблюдаться, например, при моделировании процессов аномального диффузионного переноса в сложных неоднородных средах [3, 4]. Для описания процессов с эффектами памяти могут быть использованы дробные производные и интегралы по времени, с применением которых в настоящее время предложено множество моделей, а также численных и аналитических алгоритмов их решения. Существенно менее изученными являются модели с дробными интегро-дифференциальными операторами по пространственным переменным, позволяющие описывать физические процессы с эффектами пространственной нелокальности. Для моделирования подобных процессов в многомерном пространстве могут быть использованы уравнения с дробной степенью оператора Лапласа [1, 5]. Свойства таких операторов исследовались, например, в работах [6, 7]. В данной работе рассматривается дробно-дифференциальное обобщение неоднородного уравнения Гельмгольца (−∆)
Список литературы
-
S. G. Samko, A. A. Kilbas, and O. I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications (Nauka Tekh., Minsk, 1987; Gordon and Breach, Yverdon, 1993).
-
V. V. Uchaikin, Method of Fractional Derivatives (Artishok, Ul’yanovsk, 2008) [in Russian].
-
R. Raghavan, “Fractional Diffusion: Performance of Fractured Wells”, J. Petrol. Sci. Eng. 92-93, 167-173 (2012).
-
D. Stan, F. del Teso, and J. L. Vázquez, “Finite and Infinite Speed of Propagation for Porous Medium Equations with Nonlocal Pressure”, J. Differ. Equ. 260 (2), 1154-1199 (2016).
-
C. Pozrikidis, The Fractional Laplacian (CRC Press, Boca Raton, 2016).
-
A. V. Abramyan, V. A. Nogin, and S. G. Samko, “Fractional Powers of the Operator -|x|²Δ in Lp Spaces”, Differ. Uravn. 32 (2), 275-276 (1996) [Differ. Equ. 32 (2), 281-283 (1996)]. EDN: PDGEIX
-
B. Barrios, E. Colorado, A. De Pablo, and U. Sánchez, “On Some Critical Problems for the Fractional Laplacian Operator”, J. Differ. Equ. 252 (11), 6133-6162 (2012).
-
H. Chen, P. Felmer, and A. Quaas, “Large Solutions to Elliptic Equations Involving Fractional Laplacian”, Annales de l’Institut Henri Poincaré (C), Analyse Non Linéaire 32 (6), 1199-1228 (2015). DOI: 10.1016/j.anihpc.2014.08.00
-
J. L. Vázquez, A. de Pablo, F. Quirós, and A. Rodriguez, “Classical Solutions and Higher Regularity for Nonlinear Fractional Diffusion Equations”, J. Eur. Math. Soc. 19 (7), 1949-1975 (2017).
-
E. C. Aifantis, "Fractional Generalizations of Gradient Mechanics", in Handbook of Fractional Calculus with Applications (De Gruyter, Berlin, 2019), Vol. 4, pp. 241-262. -
A. D. Polyanin, Linear Equations of Mathematical Physics (Fizmatlit, Moscow, 2001) [in Russian]. EDN: MVANPN -
L. Greengard and V. Rokhlin, "A Fast Algorithm for Particle Simulations", J. Comput. Phys. 135 (2), 280-292 (1997). -
N. A. Gumerov and R. Duraiswami, Fast Multipole Methods for the Helmholtz Equation in Three Dimensions (Elsevier, Amsterdam, 2005). -
N. S. Belevtsov and S. Yu. Lukashchuk, "Multipole Expansion of the Fundamental Solution of a Fractional Degree of the Laplace Operator", in Itogi Nauki Tekh., Ser. Sovrem. Mat. Prilozh., Temat. Obz. (VINITI, Moscow, 2020), Vol. 176, pp. 26-33. -
N. S. Belevtsov and S. Yu. Lukashchuk, "A Parallel Numerical Algorithm for Solving Fractional Poisson Equation", in Proc. Int. Conf. on Parallel Computational Technologies, Kaliningrad, Russia, April 2-April 4, 2019 (South Ural State Univ., Chelyabinsk, 2019), pp. 165-174. -
N. S. Belevtsov and S. Yu. Lukashchuk, "Factorization of the Fundamental Solution to Fractional Helmholtz Equation", Lobachevskii J. Math. 42 (1), 57-62 (2021). EDN: HXITXD -
A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov, and O. I. Marichev, Integrals and Series, Vol. 2: Special Functions (Nauka, Moscow, 1983; Gordon and Breach, New York, 1986). -
A. A. Kilbas and M. Saigo, H-transforms: Theory and Applications (CRC Press, Boca Raton, 2004). -
R. Gorenflo, J. Loutchko, and Y. Luchko, "Computation of the Mittag-Leffler Function Eα, β(z) and Its Derivative", Fract. Calc. Appl. Anal. 5 (4), 491-518 (2002). -
Y. Luchko, "Algorithms for Evaluation of the Wright Function for the Real Arguments' Values", Fract. Calc. Appl. Anal. 11 (1), 57-75 (2008). -
R. D. Mindlin and N. N. Eshel, "On First Strain-Gradient Theories in Linear Elasticity", Int. J. Solids Struct. 4 (1), 109-124 (1968). -
C. Q. Ru and E. C. Aifantis, "A Simple Approach to Solve Boundary-Value Problems in Gradient Elasticity", Acta Mech. 101 (1), 59-68 (1993). -
B. G. Korenev, Introduction to the Theory of Bessel Functions (Nauka, Moscow, 1971) [in Russian].
Выпуск
Методы и алгоритмы вычислительной математики и их приложения.
Параллельные программные средства и технологии.
Другие статьи выпуска
В данной статье представлен обзор современного состояния суперкомпьютерной техники. Обзор сделан с разных точек зрения - начиная от особенностей построения современных вычислительных устройств до особенностей архитектуры больших суперкомпьютерных комплексов. В данный обзор вошли описания самых мощных суперкомпьютеров мира и России по состоянию на начало 2021 г., а также некоторых менее мощных систем, интересных с других точек зрения. Также делается акцент на тенденциях развития суперкомпьютерной отрасли и описываются наиболее известные проекты построения будущих экзафлопсных суперкомпьютеров.
В работе представлены три итерационных алгоритма быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени, имеющие алгоритмическую сложность O (N·R·log2N), где R - частотное разрешение спектральной характеристики (отношение длины набора частот к длине N набора отсчетов исходного сигнала). Алгоритмы отличаются способами организации вычислений: некоторые используют обратную перестановку битов, другие - дополнительные массивы. Приведены подробные вычислительные графы, а также блок-схемы разработанных алгоритмов. Полученные результаты можно использовать для улучшения отечественной электроники и программного обеспечения, а также включать в учебный процесс при подготовке инженеров в области цифровой обработки сигналов.
Рассмотрены явные симплектические разностные схемы Рунге-Кутты-Нистрема (RKN) с числом стадий от 1 до 5 для численного решения задач молекулярной динамики, описываемых системами с распадающимися гамильтонианами. Для числа стадий 2 и 3 параметры RKN-схем получены с помощью техники базисов Гребнера. Для числа стадий 4 и 5 новые схемы най дены с применением метода численной оптимизации Нелдера-Мида. В частности, для числа стадий 4 получены четыре новые схемы. Для числа стадий 5 получены три новые схемы в дополнение к четырем схемам, известным в литературе. Для каждого конкретного числа стадий найдена схема, являющаяся наилучшей с точки зрения минимума ведущего члена погрешности аппроксимации. Верификация схем осуществлена на задаче, имеющей точное решение. Показано, что симплектическая пятистадийная RKN-схема обеспечивает более точное сохранение баланса полной энергии системы частиц, чем схемы более низких порядков точности. Исследования устойчивости схем выполнены с помощью программного пакета Mathematica.
Издательство
- Издательство
- МГУ
- Регион
- Россия, Москва
- Почтовый адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- Юр. адрес
- оссийская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1
- ФИО
- Садовничий Виктор Антонович (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- info@rector.msu.ru
- Контактный телефон
- +7 (495) 9391000
- Сайт
- https://msu.ru/