In this paper, we consider a nonlinear impulsive parabolic type partial differential equation with nonlinear impulsive conditions. Dirichlet type boundary value conditions with respect to spatial variable is used, and eigenvalues and eigenfunctions of the spectral problem are founded. The Fourier method of the separation of variables is applied. A countable system of nonlinear functional equations is obtained with respect to the Fourier coefficients of the unknown function. A theorem on a unique solvability of the countable system of nonlinear functional equations is proved by the method of successive approximations. A criteria of uniqueness and existence of a solution for the nonlinear impulsive mixed problem is obtained. A solution of the mixed problem is derived in the form of the Fourier series. The absolute and uniform convergence of the Fourier series is proved.
Предпросмотр статьи
Идентификаторы и классификаторы
Partial differential and integro-differential equations of parabolic type are investigated widely by large number of scientists and have different applications in sciences and technology (see, for example [1–14]). Differential and integro-differential equations with impulse effects have applications in biological, chemical and physical sciences, ecology, biotechnology, industrial robotic, pharmacokinetics, optimal control, etc. [15–21]. A lot of publications are devoted to study differential equations with impulsive effects, describing many natural and technical processes (see, for example [22–38]). In [39–43], the questions of existence and uniqueness of periodic solutions of differential and integro-differential equations were studied. In [44–46] Whitham type partial differential equations of first order with impulsive effects were investigated.
Список литературы
1. Nguyen H., Reynen J. A space-time least-square finite element scheme for advectiondiffusion equations.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1984, vol. 42, no. 3, pp. 331-342.
2. Pinkas G. Reasoning, nonmonotonicity and learning in connectionist networks that capture propositional knowledge. Artificial Intelligence, 1995, vol. 77, no. 2, pp. 203-247. EDN: AOHIMD
3. Van Dorsselaer H., Lubich C. Inertial manifolds of parabolic differential equations under high-order discretizations. Journal of Numerical Analysis, 1999, vol. 19, no. 3, pp. 455-471.
4. Ivanchov N.I. Boundary value problems for a parabolic equation with integral conditions. Differential Equations, 2004, vol. 40, no. 4, pp. 591-609. EDN: XLSRJL
5. Pohozaev S.I. On the dependence of the critical exponent of the nonlinear heat equation on the initial function. Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 7, pp. 955-962. EDN: PFESLB
6. Pokhozhaev S.I. Critical nonlinearities in partial differential equations.Russian Journal of Mathematical Physics, 2013, vol. 20, no. 4, pp. 476-491. EDN: SLHSIR
7. Galaktionov V.A., Mitidieri E., Pohozaev S. Global sign-changing solutions of a higher order semilinear heat equation in the subcritical Fujita range. Advanced Nonlinear Studies, 2012, vol. 12, no. 3, pp. 569-596. EDN: RGOBKB
8. Galaktionov V.A., Mitidieri E., Pohozaev S.I. Classification of global and blow-up sign-changing solutions of a semilinear heat equation in the subcritical Fujita range: second-order diffusion. Advanced Nonlinear Studies, 2014, vol. 14, no. 1, pp. 1-29. EDN: SKMSIN
9. Yuldashev T.K. Mixed value problem for a nonlinear differential equation of fourth order with small parameter on the parabolic operator.Computational Mathematics and. Mathematical Physics, 2011, vol. 51, no. 9, pp. 1596-1604. EDN: PEASDT
10. Yuldashev T.K. Mixed value problem for nonlinear integro-differential equation with parabolic operator of higher power.Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2012, vol. 52, no. 1, pp. 105-116. EDN: PDJIJF
11. Yuldashev T.K. Nonlinear optimal control of thermal processes in a nonlinear Inverse problem. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2020, vol. 41, no. 1, pp. 124-136. EDN: JLBDNL
12. Denk R., Kaip M. Application to parabolic differential equations. In: General Parabolic Mixed Order Systems in Lp and Applications. Cham, Birkh¨auser, 2013.
13. Mulla M., Gaweash A., Bakur H. Numerical solution of parabolic partial differential equations (PDEs) in one and two space variable. Journal of Applied Mathematics and Physics, 2022, vol. 10, no. 2, pp. 311-321. EDN: EVHQVG
14. Zonga Y., Heb Q., Tartakovsky A.M. Physics-informed neural network method for parabolic differential equations with sharply perturbed initial conditions. arXiv:2208.08635[math.NA], 2022.
15. Halanay A., Wexler D. Teoria calitativa a sistemelor cu impulsuri. Bucuresti, Editura Academiei Republicii Socialiste Romania, 1968.
16. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of Impulsive Differential Equations. Singapore, World Scientific, 1989.
17. Samoilenko A.M., Perestyk N.A. Impulsive Differential Equations. Singapore, World Sciences, 1995.
18. Perestyk N.A., Plotnikov V.A., Samoilenko A.M., Skripnik N.V. Differential Equations with Impulse Effect: Multivalued Right-Hand Sides with Discontinuities. Berlin, Walter de Gruter Co., 2011.
19. Benchohra M., Henderson J., Ntouyas S.K. Impulsive Differential Equations and Inclusions. New York, Hindawi Publ., 2006.
20. Catlla J., Schaeffer D.G., Witelski Th.P., Monson E.E., Lin A.L. On spiking models for synaptic activity and impulsive differential equations. SIAM Review, 2008, vol. 50, no. 3, pp. 553-569.
21. Stamova I., Stamov G. Impulsive biological models. In: Applied Impulsive Mathematical Models. Cham, Springer, 2016.
22. Anguraj A., Arjunan M.M. Existence and uniqueness of mild and classical solutions of impulsive evolution equations. Electronic Journal of Differential Equations, 2005, vol. 2005, p. 111.
23. Bin L., Xinzhi L., Xiaoxin L. Robust global exponential stability of uncertain impulsive systems. Acta Mathematika Scientia, 2005, vol. 25, no. 1, pp. 161-169.
24. Bai Ch., Yang D. Existence of solutions for second-order nonlinear impulsive differential equations with periodic boundary value conditions. Boundary Value Problems, 2007, vol. 2007, p. 41589.
25. Chen J., Tisdell Ch.C., Yuan R. On the solvability of periodic boundary value problems with impulse. Journal of of Mathematical Analysis and Applications, 2007, vol. 331, pp. 902-912.
26. Catlla J., Schaeffer D.G., Witelski Th.P., Monson E.E., Lin A.L. On spiking models for synaptic activity and impulsive differential equations. SIAM Review, 2008, vol. 50, no. 3, pp. 553-569.
27. Benchohra M., Salimani B.A. Existence and uniqueness of solutions to impulsive fractional differential equations. Electronic Journal of Differential Equations, 2009, vol. 2009, no. 10, pp. 1-11.
28. Li M., Han M. Existence for neutral impulsive functional differential equations with nonlocal conditions. Indagationes Mathematcae, 2009, vol. 20, no. 3, pp. 435-451.
29. Ji Sh., Wen Sh. Nonlocal Cauchy problem for impulsive differential equations in Banach spaces.International Journal of Nonlinear Sciences, 2010, vol. 10, no. 1, pp. 88-95.
30. Fecken M., Zhong Y., Wang J. On the concept and existence of solutions for impulsive fractional differential equations.Communications in Non-Linear Science and Numerical Simulation, 2012, vol. 17, no. 7, pp. 3050-3060.
31. Antunes D., Hespanha J., Silvestre C. Stability of networked control systems with asynchronous renewal links: An impulsive systems approach. Automatica, 2013, vol. 49, no. 2, pp. 402-413.
32. Gao Z., Yang L., Liu G. Existence and uniqueness of solutions to impulsive fractional integro-differential equations with nonlocal conditions. Applied Mathematics, 2013, vol. 4, no. 6, pp. 859-863.
33. Mardanov M.J., Sharifov Ya.A., Habib M.H. Existence and uniqueness of solutions for first-order nonlinear differential equations with two-point and integral boundary conditions. Electronic Journal of Differential Equations, 2014, vol. 2014, p. 259.
34. Yuldashev T.K., Ergashev T.G., Abduvahobov T.A. Nonlinear system of impulsive integro-differential equations with Hilfer fractional operator and mixed maxima. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2022, vol. 7, no. 3, pp. 312-325. EDN: KCKLXS
35. Yuldashev T.K., Fayziev A.K. On a nonlinear impulsive system of integro-differential equations with degenerate kernel and maxima. Nanosystems: Physics. Chemistry. Mathematics, 2022, vol. 13, no. 1, pp. 36-44. EDN: SHAUGO
36. Yuldashev T.K., Fayziev A.K.Integral condition with nonlinear kernel for an impulsive system of differential equations with maxima and redefinition vector. Lobachevskii Journal Mathematics, 2022, vol. 43, no. 8, pp. 2332-2340. EDN: HQOFMU
37. Yuldashev T.K., Fayziyev A.K. Inverse problem for a second order impulsive system of integro-differential equations with two redefinition vectors and mixed maxima. Nanosystems: Physics. Chemistry. Mathematics, 2023, vol. 14, no. 1, pp. 13-21. EDN: UFIFXR
38. Yuldashev T.K., Saburov Kh.Kh., Abduvahobov T.A. Nonlocal problem for a nonlinear system of fractional order impulsive integro-differential equationswith maxima. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2022, vol. 7, no. 1, pp. 113-122. EDN: VOQVJA
39. Cooke C.H., Kroll J. The existence of periodic solutions to certain impulsive differential equations.Computers and Mathematics with Applications, 2002, vol. 44, no. 5-6, pp. 667- 676. EDN: BBORXD
40. Li X., Bohner M., Wang C.-K. Impulsive differential equations: Periodic solutions and applications. Automatica, 2015, vol. 52, pp. 173-178.
41. Yuldashev T.K. Periodic solutions for an impulsive system of integro-differential equations with maxima. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seria: Fiziko-Matematicheskiye Nauki [Bulettin of Samara State Technical University. Ser. Physical and Mathematical Sciences], 2022, vol. 26, no. 2, pp. 368-379.
42. Yuldashev T.K. Periodic solutions for an impulsive system of nonlinear differential equations with maxima. Nanosystems: Physics. Chemistry. Mathematics, 2022, vol. 13, no. 2, pp. 135-141. EDN: BNGDOI
43. Yuldashev T.K., Sulaimonov F.U. Periodic solutions of second order impulsive system for an integro-differential equations with maxima. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2022, vol. 43, no. 12, pp. 3674-3685. EDN: MDJADE
44. Fayziyev A.K., Abdullozhonova A.N., Yuldashev T.K. Inverse problem for Whitham type multi-dimensional differential equation with impulse effects. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, vol. 44, no. 2, pp. 570-579. EDN: RQDSDE
45. Yuldashev T.K., Ergashev T.G., Fayziyev A.K. Coefficient inverse problem for Whitham type two-dimensional differential equation with impulse effects. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2023, vol. 8, no. 2, pp. 238-248. EDN: JPYJYB
46. Yuldashev T.K., Fayziyev A.K. Determination of the coefficient function in a Whitham type nonlinear differential equation with impulse effects. Nanosystems: Physics. Chemistry. Mathematics, 2023, vol. 14, no. 3, pp. 312-320. EDN: KLYXQY
Выпуск
Другие статьи выпуска
Рассмотрена модель для описания рыхления почвы при воздействии на неё сжатым воздухом. Модель позволяет рассчитать в зависимости от давления сжатого воздуха, диаметра отверстия и глубины залегания точки подачи зону дилатансии (области, внутри которой создаваемые напряжения превысят пороговые и начнётся процесс рыхления). Разработанная модель также применена для описания рыхления почвы при нескольких точках подачи воздуха и при различном направлении струи.
Работа посвящена развитию метода рандомизированного машинного обучения в направлении оценивания динамических моделей связанных процессов с использованием реальных данных, один из которых рассматривается в качестве основного, а другой в качестве зависимого. Модель основного процесса в этой концепции реализуется динамической моделью на основе дифференциальных уравнений с параметрами, которые в свою очередь реализуются статической моделью в другой временной шкале. Рандомизированное машинное обучение - новая теория, находящаяся на стыке науки о данных, машинного обучения и интеллектуального анализа данных, основанная на использовании концепции энтропии для оценивания вероятностных характеристик параметров моделей. Такими характеристиками являются распределения вероятностей соответствующих объектов, оценками которых являются распределения, реализованные функциями плотности распределения вероятностей или дискретными распределениями. Достижение этой цели становится возможным благодаря идее перехода от моделей с детерминированными параметрами к моделями со случайными параметрами и, дополнительно, измеряемыми на выходе со случайным шумом, чем достигается учёт стохастической природы, которая, очевидно, присутствует в любом природном феномене. В качестве демонстрации предлагаемого в работе метода рассматривается задача прогнозирования общего количества инфицированных, основанная на динамической эпидемиологической модели SIR, в которой один из параметров рассматривается в качестве состояния связанного процесса, реализуемого статической моделью. Её оценивание производится по наблюдениям основного процесса, а прогнозирование осуществляется с помощью модели связанного процесса. Проведённый эксперимент с использованием реальных данных о случаях заболевания COVID-19 в Германии показывает работоспособность предлагаемого подхода. Прогноз, полученный классическим методом наименьших квадратов, приводит к недооценке выхода модели по сравнению с реальными наблюдаемыми данными, в то время как предлагаемый в работе подход обладает большей гибкостью и потенциально позволяет получать более адекватные реальным данным прогнозы, чем подтверждается его эффективность и адекватность в условиях малого количества данных с высоким уровнем неопределённости.
На основе базы данных, полученной с помощью модели высокоскоростного соударения пластин, связывающей параметры удара и параметры модели материала с профилем скорости тыльной поверхности, проведено сравнение процесса обучения и точности искусственной нейронной сети прямого распространения и рекурсивной нейронной сети. Рекурсивная нейронная сеть обеспечивает б´ольшую точность и требует меньшего времени для обучения. Использование рекурсивной нейронной сети в качестве быстрого эмулятора модели и байесовская калибровка могут позволить решить обратную задачу определения параметров модели вещества по профилю скорости тыльной поверхности с большей точностью.
Построены графики временны´х и частотных зависимостей компонент магнитных колебаний слоёв планарной двухслойной магнитной структуры и их портреты при возбуждении слоёв структуры СВЧ-магнитным полем круговой поляризации для разных коэффициентов связи между слоями. Показано, что межслойная связь создаёт дополнительный локальный минимум энергии, пространственное положение которого зависит от коэффициента связи слоёв.
The phase transition phenomenon is one of the central problems of statistical mechanics. It occurs when the model possesses multiple Gibbs measures. In this paper, we consider a three-state SOS (solid-on-solid) model on a Cayley tree. We reduce description of Gibbs measures to solving of a non-linear functional equation, each solution of which corresponds to a Gibbs measure. We give some sufficiency conditions on the existence of multiple Gibbs measures for the model. We give a review of some known (translation-invariant, periodic, non-periodic) Gibbs measures of the model and compare them with our new measures. We show that the Gibbs measures found in the paper differ from the known Gibbs measures, i. e, we show that these measures are new.
We analyze the metrical Bochner criterion and a new class of multi-dimensional metrically Stepanov almost periodic type functions. We clarify the main structural properties for the introduced classes of functions, including the Bochner criterion, and provide certain applications to Doss-p-almost periodic functions. We also study the extensions of almost periodic sequences and briefly explain how we can apply the established theoretical results to the abstract Volterra integro-differential equation
Найдены симметрии системы уравнений двухфазной среды, где первая фаза - газ, вторая - твёрдые частицы. Вторая фаза считается разрежённой, что выражается в отсутствии давления в уравнениях движения второй фазы. Среда предполагается неизотермической. С помощью методов группового анализа найдены алгебры Ли симметрий изучаемой модели в одномерном и трёхмерном случаях. В работе подробно описан процесс поиска симметрий в случае уравнений состояния совершенного газа. Найдены некоторые частично инвариантные решения одномерной системы уравнений.
Негладкие особенности минимаксного (обобщённого) решения рассматриваемого класса задач Дирихле для уравнений гамильтонова типа обусловлены существованием псевдовершин - особых точек границы краевого множества. В работе развиваются аналитические и численные методы построения псевдовершин и сопутствующих им конструктивных элементов, к которым относятся порождающие псевдовершины локальные диффеоморфизмы, а также маркеры - числовые характеристики этих точек. Для маркеров получено уравнение с характерной структурой, присущей уравнениям для неподвижных точек. Предложена основанная на методе Ньютона итерационная процедура численного построения его решения. Доказана сходимость процедуры к маркеру псевдовершины. Приведён пример численно-аналитического построения минимаксного решения, иллюстрирующий эффективность развиваемых подходов построения негладких решений краевых задач.
Исследуется фредгольмова разрешимость эллиптической краевой задачи, соответствующей оператору Грина из алгебры Буте де Монвеля, на гладком многообразии с компактным краем. В качестве функциональных пространств используются пространства Гёльдера - Зигмунда с переменным показателем гладкости. Даны достаточные условия фредгольмовости оператора Грина из рассматриваемой алгебры в этих пространствах.
Исследованы вопросы однозначной разрешимости специальной начальной задачи для двух классов линейного неоднородного уравнения с производной Джрбашяна - Нерсесяна. В одном из классов оператор при искомой функции ограничен, в другом - секториален. Доказано также представление композиции любого числа дифференциальных операторов Герасимова - Капуто и/или Римана - Лиувилля в виде производной Джрбашяна - Нерсесяна.
Описаны трёхмерные динамические системы с кусочно-линейными правыми частями, моделирующие функционирование простейшего молекулярного репрессилятора и имеющие бесконечные однопараметрические семейства циклов в их фазовых портретах. Построена аналогичная динамическая система со ступенчатыми правыми частями, имеющая два кусочно-линейных цикла. Описана поверхность, разделяющая эти два цикла.
Получено представление решения задачи Коши для разрешённого относительно старшей производной линейного неоднородного уравнения с несколькими дробными производными Герасимова - Капуто и с секториальным набором линейных замкнутых операторов при них в случае гёльдеровой функции в правой части уравнения; доказана единственность решения. Этот результат использован для редукции задачи Коши для квазилинейного уравнения к интегро-дифференциальному уравнению. Методом сжимающих операторов доказано существование единственного локального решения в случае локальной липшицевости зависящего от нескольких производных Герасимова - Капуто нелинейного оператора в уравнении и единственного глобального решения при условии липшицевости этого оператора.
Издательство
- Издательство
- ЧЕЛГУ
- Регион
- Россия, Челябинск
- Почтовый адрес
- 454001, Челябинская обл., г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, д.129
- Юр. адрес
- 454001, Челябинская обл, г Челябинск, Калининский р-н, ул Братьев Кашириных, д 129
- ФИО
- Таскаев Сергей Валерьевич (РЕКТОР)
- E-mail адрес
- rector@csu.ru
- Контактный телефон
- +7 (351) 7419767
- Сайт
- https://www.csu.ru/