Статья: Приближенные аналитические решения нелинейной финансовой модели дробного порядка двумя эффективными методами со сравнительным исследованием (2024)

Рассматриваются математические модели конвекции–диффузии–реакции, которые относятся к моделям тепломассопереноса и применяются при исследовании природных и техногенных процессов. Для данного класса моделей актуальной является задача идентификации как параметров самой модели, так и входящих в нее граничных условий по результатам измерений значений искомой функции в отдельных точках рассматриваемой области. Задачу усложняет наличие неполных измерений, искаженных случайными помехами.

Решение заключается в разработке комбинированного двухэтапного метода идентификации, основанного на последовательном применении метода минимизации критерия идентификации безградиентного типа и рекуррентного метода оценивания неизвестных входных сигналов. Для применения указанных методов выполняется переход от исходной модели, описываемой уравнениями в частных производных, к дискретной линейной стохастической модели в пространстве состояний, в которой неизвестные граничные условия рассматриваются как неизвестные входные сигналы.

В результате построены новые дискретные линейные стохастические модели конвекции–диффузии–реакции для трех разных типов граничных условий. Предложена общая схема процесса параметрической идентификации, включающая двухэтапную идентификацию неизвестных параметров математической модели и идентификацию неизвестных граничных условий.

Для проверки работоспособности предложенного метода построены компьютерные модели конвекции–диффузии–реакции и выполнена реализация всех алгоритмов на языке MATLAB. Проведена серия вычислительных экспериментов, результаты которых показали, что разработанная двухэтапная комбинированная схема позволяет идентифицировать параметры исходной модели, значения функций, входящих в граничные условия, а также вычислить по неполным зашумленным измерениям оценки функции, описывающей процесс конвекции–диффузии–реакции.

Полученные результаты могут быть использованы не только при исследовании процессов тепломассопереноса, но также при решении задач идентификации параметров моделей дискретных стохастических систем с неизвестными входными сигналами и при наличии случайных помех.

Массоперенос в электромембранных системах в режимах интенсивного тока сопровождается возникновением дополнительных механизмов переноса, которые существенно влияют на эффективность их функционирования. Согласно современным представлениям для разбавленных растворов электролитов среди таких механизмов особенно важными являются электроконвекция и реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды. Эти процессы оказывают противоположное действие на эффективность электромембранных технологий.

В исследованиях мембранных систем активно применяются математические модели, учитывающие влияние указанных механизмов, однако они обычно описывают только потенциодинамический режим, при котором устанавливается скачок потенциала в системе. Для интерпретации обширной базы экспериментальных данных по гальванодинамическому режиму (при фиксированной плотности тока) также необходимы инструменты теоретического анализа.

Цель данной работы заключается в разработке математической модели массопереноса в слое раствора электролита у ионообменной мембраны с учетом электроконвекции и диссоциации воды в гальванодинамическом режиме. Модель основана на системе связанных уравнений Нернста—Планка—Пуассона—Навье—Стокса, дополненной новым гальванодинамическим граничным условием для потенциала.

С использованием разработанной модели впервые рассчитаны хронопотенциограммы мембранной системы с учетом влияния как электроконвекции, так и реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды. Результаты показали, что отношение концентрации продуктов диссоциации воды к концентрации ионов соли определяет баланс эффектов электроконвекции и диссоциации.

Рассмотрены следующие варианты соотношения эффектов электроконвекции и диссоциации молекул воды:

значимое влияние на массоперенос оказывает электроконвекция, в то время как влияние диссоциации воды минимально;

электроконвекция и диссоциация существенно влияют на процессы переноса:

образование дополнительных носителей заряда в результате диссоциации молекул воды снижает скачок потенциала в слое раствора электролита, что уменьшает интенсивность электроконвекции, в то время как развитие электроконвекции, в свою очередь, замедляет процесс диссоциации;

продукты интенсивной диссоциации молекул воды тормозят развитие электроконвекции.

Вопрос исследования гравитационного поля тел сложной формы (не относящийся к шарообразной) представляет большой интерес для геофизики, астрофизики, математической физики и других областей. Статья состоит из двух частей. В первой части представлен краткий литературный обзор различных методов расчета потенциала гравитационного поля однородного куба в рамках классической механики: получение аналитического решения; как частный случай задачи нахождения гравитационного поля полиэдра; методом конечных элементов; методом мультипольного разложения. Более подробно проанализирован метод расчета потенциала гравитационного поля однородного куба с помощью аналитического решения и мультипольного разложения. Во второй части статьи описан релятивистский случай гравитационного поля однородного куба в рамках постньютоновского формализма в первом и втором приближении. Данный метод расчета выбран по причине чрезвычайной сложности получение решения с помощью уравнений Эйнштейна. Ранее подобные задачи для тел с формой куба не рассматривались. Для решения задачи выбрана физическая модель — координатный равновесный куб, заполненный несжимаемой жидкостью с нулевой скоростью и постоянной плотностью. Получены релятивистские поправки для временной и пространственной координаты. Получен точный аналитический вид этих поправок для области вне куба, а также компоненты метрического тензора. Дано краткое сравнение полученных результатов для релятивистского случая с результатами классического ньютоновского случая. Для области внутри куба решение получено с помощью численных методов. Полученные результаты с достаточной точностью определяют параметры гравитационного поля для однородного куба, рассмотренного в рамках релятивистского подхода. Основное приложение этой задачи в рамках релятивистской физики относится к области математической физики (или, шире, математики).

Работа посвящена дальнейшему исследованию и построению конструктивных методов последовательной параметрической оптимизации неизвестных характеристик нестационарных процессов технологической теплофизики на компактном множестве непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций. Предложенная методика распространяет разработанный алгоритмически точный метод решения на многомерную постановку обратных задач технологической теплофизики и позволяет отыскать физически обоснованную идентифицируемую характеристику на последовательно сходящихся компактных множествах.
В качестве объекта исследования рассматривается двумерное осесимметричное тело канонической формы, где искомой функцией является сосредоточенная величина мощности внутренних теплоисточников. Задача сформулирована в равномерной метрике оценивания температурного отклонения расчетного состояния от экспериментального. В качестве математической модели рассматриваемого объекта используется его модальное описание, на основе которого проведена редукция исходной обратной задачи теплопроводности, сформулированной в экстремальной постановке, к задаче оптимального управления.
Использование предварительной параметризации искомой характеристики процесса приводит к ее представлению в форме кусочно-параболических функций, конкретизируемых в рамках выбранной структуры с помощью вектора параметров. Количество учитываемых параметров определяет точное представление идентифицируемой величины, а их значения отыскиваются в результате решения полученной задачи параметрической оптимизации. Для решения полученной задачи математического программирования относительно оптимальных значений вектора параметров используются, аналогично одномерному случаю, альтернансные свойства искомых экстремалей, в результате чего задача сводится к замкнутой системе соотношений.

Полученные результаты демонстрируют эффективность распространения конструктивного метода последовательной параметрической оптимизации, опробованного на одномерных обратных задачах теплопроводности, на решение двумерных задач с использованием их модального представления. Увеличение числа параметров решений, образующих кусочно-параболическую форму искомой зависимости, приводит к уменьшению погрешности восстановления как искомой сосредоточенной функции, так и пространственно-временного температурного поля во всей двумерной области определения пространственных переменных.

Представлен численный метод расчета полей остаточных напряжений в поверхностно упрочненном призматическом образце с несквозной V-образной трещиной, базирующийся на упругопластическом решении задачи. По полученным результатам проведен подробный анализ распределений остаточных напряжений вблизи дефекта по нескольким контурам. Определено, что при глубине трещины 0.3 мм практически все изучаемые компоненты остаточных напряжений сжатия имеют бóльшие (по модулю) значения, чем при глубине 0.1 мм, либо равные значения.

Предлагается новый алгоритм нахождения приближенных симметрий для дробно дифференциальных уравнений с производными типа Римана–Лиувилля и Герасимова–Капуто, порядок которых близок к целому. Алгоритм основан на разложении дробной производной в ряд по малому параметру, выделяемому из порядка дробного дифференцирования. В линейном приближении такое разложение содержит нелокальный интегро-дифференциальный оператор с логарифмическим ядром.
В результате исходное дробно-дифференциальное уравнение приближается интегро-дифференциальным уравнением с малым параметром, для которого могут быть найдены приближенные симметрии. Доказывается теорема о виде продолжения однопараметрической группы точечных преобразований на новую переменную, порождаемую нелокальным оператором, входящим в разложение дробной производной. Знание такого продолжения позволяет применить к рассматриваемому уравнению приближенный критерий инвариантности.

Предлагаемый алгоритм иллюстрируется на задаче нахождения приближенных симметрий для нелинейного дробно-дифференциального уравнения фильтрации субдиффузионного типа. Показано, что размерность алгебры приближенных симметрий такого уравнения оказывается существенно больше размерности алгебры точных симметрий, что открывает возможность построения большого числа приближенно инвариантных решений. Также на примере линейного дробно-дифференциального уравнения субдиффузии показывается, что алгоритм дает принципиальную возможность находить нелокальные приближенные симметрии определенного вида.

Предлагается новый гибридный численный метод с использованием производной Капуто для решения нелинейного дробного уравнения Льенара — метод дифференциального преобразования Халуты. Доказана теорема сходимости данного метода при определенных условиях.

Метод дифференциального преобразования Халуты представляет собой полуаналитическую технику, объединяющую два мощных подхода: метод преобразования Халуты и метод дифференциального преобразования. Основное преимущество этого метода заключается в том, что он позволяет очень быстро находить решения и не требует линеаризации, возмущения или каких-либо других предположений. Предложенный метод подробно описан, а его эффективность продемонстрирована на двух числовых примерах. Результаты вычислений хорошо согласуются с точными решениями, что подтверждает надежность и эффективность предложенного подхода.