Статья: О СТОЙКОСТИ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМОВ НАД ГРУППОЙ ТОЧЕК ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ (2024)

Kyber представляет собой постквантовый механизм инкапсуляции ключа (Key Encapsulation Mechanism, КЕМ). Более того, на текущий момент Kyber является единственным постквантовым КЕМ, рекомендованным к стандартизации в США по итогам конкурса, проводимого NIST (National Institute of Standards and Technology). Предлагается алгоритмическая оптимизация модульной арифметики, используемой в Kyber, который значительно снижает количество операций приведения по модулю. Предложенная оптимизация позволяет достичь ускорения декапсуляции ключа в 1,83 раз, инкапсуляции ключа - в 1,58 раз и генерации ключевой пары - в 1,41 раз для программной реализации Kyber.

Квантовые вычисления активно развиваются в последние десятилетия: увеличивается количество кубитов, с которыми оперирует квантовый компьютер, и снижается вероятность вычислительных ошибок. Поэтому возникает необходимость в разработке и анализе постквантовых криптосистем - криптосистем, устойчивых к атакам с использованием квантового компьютера. Одним из основных подходов к построению таких криптосистем является теория решёток. В данном подходе стойкость большинства криптосистем сводится к решению задачи нахождения кратчайшего вектора в решётке (SVP). В работе приводятся результаты анализа алгоритма 8-просеивания для решения SVP. Предлагается новый компромисс между временем работы и количеством используемой памяти алгоритма 8-просеивания. Приводится сравнение с известными алгоритмами k-просеивания. На отрезке (20-155n, 20-189n) используемой памяти предложенный алгоритм имеет минимальное время работы среди известных алгоритмов k-просеивания.

Рассмотрена структура некоторых классов турниров, состоящих из одних королей, и их количество. Вершина v турнира называется королём, если длина пути из v до любой другой вершины составляет не более чем 2. Турнир называется простым, если его решётка конгруэнций двухэлементна и содержит только тождественную и универсальную конгруэнции. Основной результат работы состоит в том, что турниры, состоящие из одних королей, не являются простыми.

Сформулированы некоторые необходимые и некоторые достаточные условия максимальности периода конечно-автоматного генератора. Предложен способ построения генератора с максимальным периодом.

Представлен обзор квазициклических альтернантных кодов и их структурный анализ относительно классификации автоморфизмов. Детализированы методы восстановления структурной информации о коде. Привлекательность рассматриваемого семейства кодов заключается в его возможном криптографическом приложении и, как следствие, в уменьшении длины ключа постквантовых схем на кодах, исправляющих ошибки. К тому же данный метод построения кодов является универсальным и может быть применён для получения альтернантных кодов квазициклических алгеброгеометрических кодов, ассоциированных с произвольной кривой с известной группой автоморфизмов. Однако, как показано в работе, ввиду особенностей построения квазициклических альтернантных кодов возникает возможность редукции ключевой безопасности оригинального кода к ключевой безопасности кода с меньшими параметрами, который может не являться стойким к структурной атаке.

Работа является продолжением исследований по поиску точных формул для вычисления параметров Бхаттачарьи Z координатных каналов W полярного кода в случае, когда канал передачи является двоичным симметричным и без памяти, требующих полиномиального числа операций. Для этого необходимо уметь строить такие базисы подпространств Zi-1, порожденных первыми i - 1 строками поляризационной матрицы GN полярного кода длины N, и подпространств Ui+1, порожденных последними N - i строками матрицы GN, что вес Хемминга является аддитивной функцией на векторах базиса (или близкой к ней). Эти задачи решаются для двух последовательностей i = 2m + 1 и i = 2m - 1, а также при i≥ N/2. Как следствие, мы находим короткие и полиномиальные формулы для Z W2m+1 и Z W2m-1 а также полиномиально-экспонециальные для Z при i ≥ N/2. В заключении приводится список формул для вычисления всех параметров Бхаттачарьи кода длины 32.

Рассматриваются возможности использования обобщённых (L, G) кодов для решения различных задач защиты информации, в частности использование таких кодов для синдромного встраивания информации, кодового сжатия, взвешенных пороговых схем распределения ключей.

Работа посвящена задаче №7 Олимпиады NSUCRYPTO 2023 г. об описании интересного класса кодов C - с однозначным декодированием к ближайшему кодовому слову в метрике Хэмминга. Доказана возможность представления кода C как матроида и приведено промежуточное решение в случае, когда множество B битов, таких, что существует двухбитовое слово, его содержащее, декодирующееся не в z = позициями битов кода C.

Рассматривается задача описания деревьев, все максимальные поддеревья которых изоморфны. Приводится характеристическая теорема для таких деревьев: все максимальные поддеревья дерева изоморфны тогда и только тогда, когда все его листья подобны. Вводится класс многоуровневых звёзд. Доказывается, что этот класс совпадает с классом деревьев, все максимальные поддеревья которых изоморфны.

Рассмотрен новый подход к сокрытию кода исполняемых файлов ОС Linux при помощи таблицы перемещений, позволяющий создать криптор без встраивания в исполняемый файл кода расшифрования. Исследованы различные варианты практического применения данного подхода, реализованы соответствующие прототипы крипторов. Оценена опасность подхода для инструментов обратной разработки IDA, Ghidra, angr и антивирусного ПО.

Разработана программная система замера эффективности внутреннего представления схем zk-SNARK. Система предназначена для измерения параметров схем доказательства с нулевым разглашением zk-SNARK - количества ограничений во внутреннем представлении систем ограничений ранга 1 (R1CS), времени работы алгоритмов zk-SNARK и размеров ключей доказательства. Система позволяет разработчикам схем zk-SNARK на этапе написания кода измерять различные параметры производительности и оптимизировать представления системы ограничений. Разработанная программная система может быть использована для замера эффективности произвольных схем zk-SNARK и определения их применимости для различных приложений.

Графовые модели занимают важное место в задачах, связанных с защитой информации и информационной безопасностью. Рассматривается конечная динамическая система, состояниями которой являются все возможные ориентации данного графа, а эволюционная функция задаётся следующим образом: динамическим образом данного орграфа является орграф, полученный из исходного путём переориентации всех дуг, входящих в стоки, других отличий между исходным орграфом и его образом нет. Предлагается, как можно применять данную систему для защиты информации и информационной безопасности, а именно: как модель обеспечения аудита и мониторинга состояния объекта, находящегося под воздействием угроз нарушения его информационной безопасности, и расследования инцидентов информационной безопасности в автоматизированных информационных системах; как модель управления непрерывным функционированием и восстановлением систем, противодействия отказам в обслуживании; как технологию идентификации и аутентификации пользователей и субъектов информационных процессов, систему разграничения доступа.

Исследуются системы некоммутативных символьных линейных однородных уравнений, которые интерпретируются как линейные грамматики формальных языков. Такие системы решаются в виде формальных степенных рядов (ФСР), выражающих нетерминальные символы через терминальные символы алфавита и рассматриваемых как линейные языки. Всякому ФСР поставлен в соответствие его коммутативный образ, который получается в предположении, что все символы обозначают коммутативные переменные, действительные или комплексные. Рассматриваются системы уравнений, которые могут иметь бесконечное множество решений, параметризуемых не произвольными числами, а произвольными ФСР. Оценено количество таких параметров, что даёт некоммутативный аналог известного факта теории линейных уравнений.

С использованием матрично-графового подхода исследуются перемешивающие свойства регистровых преобразований поточных алгоритмов шифрования ТЕА1 и ТЕА2 стандарта цифровой транкинговой радиосвязи ТЕТRА. Получены значения экспонентов перемешивающих матриц, соответствующих регистровым преобразованиям исследуемых алгоритмов. Результаты могут быть использованы для оценки числа тактов работы регистров преобразования ключа в алгоритмах поточного шифрования, необходимых для обеспечения существенной зависимости каждого бита выходной последовательности от всех битов ключа.

Работа посвящена анализу параметров постквантовых схем подписи на основе хешей без сохранения состояния (SPHINCS+, SPHINCS+C и Гиперикум). Предлагаются новые наборы параметров, обеспечивающие 120-битную стойкость к подделке против квантового злоумышленника. Выбор наборов осуществлялся с учётом прикладных характеристик и возможных областей применения рассматриваемых схем.

Работа посвящена истории развития Международной олимпиады по криптографии Non-Stop University CRYPTO, её открытым проблемам и результатам.

Анализируется класс XSL-алгоритмов блочного шифрования с алгоритмом развертывания ключа на основе рекуррентного соотношения второго порядка и матрицей линейного преобразования, у которой существуют хотя бы два равных элемента в некоторой строке обратной матрицы. Предложена атака на 6-раундовый XSL-алгоритм блочного шифрования на основе комбинирования методов встречи посередине, невозможных разностей, а также модификации подхода «уоуо». Сначала на основе обобщения метода встречи посередине формируется множество кандидатов в раундовые ключи первого раунда. Далее для получения множества кандидатов в раундовые ключи шестого раунда строится различитель, основанный на комбинации невозможных разностей и соотношений из модифицированного подхода «уоуо». Вероятность успеха равна 0,7. Полученные результаты подтверждены на модельном XSL-алгоритме блочного шифрования с 16-битным блоком открытого текста.

КБ-256 - алгоритм блочного шифрования, рекомендованный для защиты больших объёмов данных. Рассматриваются вопросы криптографической стойкости КБ-256 в модели атакующего, имеющего доступ к квантовому компьютеру. Оценивается трудоёмкости применения алгоритма Гровера - сложности квантовой схемы, в которой необходимо реализовать оракул алгоритма КБ-256, а также количество необходимого материала. Помимо этого, рассматривается возможность атаки с помощью алгоритмов поиска скрытого сдвига.

Работа является обзорной, она посвящена алгоритмам аутентифицированного шифрования с присоединёнными данными, а также функционально аналогичным режимам работы алгоритмов блочного симметричного шифрования. Рассмотрены стандартизованные режимы работы Galois/Counter Mode и Multilinear Galois Mode, a также алгоритмы шифрования, изначально разработанные для реализации подобных преобразований, на примере алгоритма Ascon. Показана оптимальность аутентифицированного шифрования с присоединёнными данными для использования в низкоресурсных устройствах на примере радиочастотных меток, взаимодействующих со считывателем по радиоканалу. Обозначены некоторые из возможных критериев выбора конкретного алгоритма и/или режима работы для реализации на целевой низкоресурсной платформе.

В рамках вероятностной модели шифра рассмотрена задача разложения (декомпозиции) в некоторой ортогональной системе координат дискретного пространства Q элементарных событий на пары семейств несовместных событий, независимых с любым событием другого семейства. Показано, что для составного числа N (мощности дискретного пространства элементарных событий) существуют пары независимых подпространств пространства, а для простых чисел N независимых подпространств не существует. Построены примеры, иллюстрирующие полученные теоретические утверждения.

В 2022 г. в Российской Федерации приняты рекомендации по стандартизации, определяющие режим работы блочных шифров DEC, используемый для защиты носителей информации с блочно-ориентированной структурой. Данный режим представляет собой модификацию режима гаммирования со специальным алгоритмом выработки синхропосылки и начальным значением счётчика из номера раздела и номера сектора носителя информации. В работе представлена модель доказуемой (редукционистской) стойкости, формализующая обеспечение конфиденциальности в условиях наличия у нарушителя доступа к квантовому оракулу. В рамках данной модели предложена атака различения на режим DEC, требующая единственный запрос к оракулу. Атака основана на возможности перехода к незапутанному состоянию регистров открытого и шифрованного текстов в случае зашифрования непосредственно открытого текста, переданного нарушителем, и невозможности такого перехода при зашифровании результата применения случайной подстановки к открытому тексту.

Предложен способ быстрой выработки ключевой последовательности большого объёма с помощью квантового канала связи и открытого канала. По открытому каналу связи, доступному всем пользователям, передаётся последовательности независимых одинаково распределённых бит, выработанных квантовым генератором случайных чисел, а по квантовому каналу - информация о способе выбора бит из этой последовательности. Приведены оценки количества попыток перебора противником ключевых последовательностей и вероятности совпадения этих последовательностей у разных пользователей.

Основным компонентом криптографической хеш-функции MD4 является 48-шаговая функция сжатия. В 2007 г. прообраз 39-шаговой функции сжатия MD4 был найден с помощью CDCL - основного полного алгоритма решения проблемы булевой выполнимости (SAT). В 2022г. с помощью параллельного SAT-алгоритма Cube-and-Conquer был найден прообраз 43-шаговой функции сжатия MD4. В настоящей работе исследуется 44-шаговая версия функции сжатия MD4, такая, что 44-й шаг ослаблен разными способами. С помощью Cube-and-Conquer найдены прообразы нескольких таких функций. На основе решённых задач предложена оценка времени, необходимого для нахождения прообраза 44-шаговой функции сжатия MD4.

Введён класс разностно-линейных атак различения на блочные шифры. Построена атака (названная разностно-сингулярной), оптимальная в данном классе. Проведены вероятностно-статистические эксперименты с шифрсистемами семейства SmallPresent с длинами блока n ∈ {8,12,16} и R ∈ {3,…, 9} раундами.

Вычисляется восьмая степень матрицы переходных вероятностей схемы Луби - Ракофф, даются оценки объёма материала j-векторных (j = 1, 2) разностно-спектральных атак различения на 8 раундов схемы Луби - Ракофф в модели независимых двублочных текстов.

Изучаются периодические, частотные и автокорреляционные характеристики отрезков промежуточных и выходных последовательностей, вырабатываемых алгоритмом поточного шифрования GEA-1. Результаты получены с использованием известных оценок тригонометрических сумм, зависящих от знаков линейных рекуррентных последовательностей.

Исследуются схемы для обработки сигнала, получаемого с кольцевых осцилляторов; преобразованные последовательности тестируются на свойства случайности. Предложено пять вариантов преобразования выходного сигнала. В качестве инструментов преобразования использованы комбинации метода фон Неймана и Математические методы криптографии 71 операции XOR. Тестирование полученных последовательностей выполнено с помощью пакета тестов NIST STS. Последовательность, полученная после преобразования №5, показала наилучший результат по итогам тестирования и была сравнена с последовательностью, зашифрованной алгоритмом AES в режиме счётчика. Сравнение показало, что количество успешно пройденных тестов преобразованной последовательности выше, чем у последовательности, зашифрованной алгоритмом AES.

Вводится новый класс атак, применимых к низкоресурсным функциям симметричной криптографии. Основная идея атак основана на использовании специальных функций, получаемых из оригинальных за счёт рассмотрения малого числа выходных бит. Задачи обращения специальных функций существенно более просты для используемых в алгебраическом криптоанализе комбинаторных алгоритмов (SAT-решателей), чем задачи обращения функций, из которых они строятся. Однако для специальной функции, ввиду того, что её выход существенно короче входа, задача обращения имеет не единственное решение. Для достижения единственности по ключу описывается процедура клонирования функции, в рамках которой специальные функции строятся для одного ключа и нескольких различных фрагментов открытых данных. Операция клонирования специальных функций выполняется на And-Inverter-графах (AIG), представляющих данные функции. Во многих случаях размер AIG может быть существенно уменьшен за счёт применения алгоритмов AIG-минимизации. Результатом совместного использования перечисленных техник являются алгебраические атаки, которые для ряда поточных шифров могут бытв существенно более эффективными в сравнении с аналогичными атаками на функции, представляющие рассматриваемые шифры стандартным образом.

Описываются атаки на протоколы аутентифицированной выработки общего ключа SIGMA, SIG-DH и TS3-1 при наличии у нарушителя возможности навязывания связанных долговременных ключей честным участникам при их регистрации в сети. Важным условием реализуемости описываемых атак является наличие у схем подписи, используемых в указанных протоколах, уязвимости к атаке со связанными ключами (примером уязвимой схемы подписи является схема EGDSA). В результате каждой из трёх описываемых атак реализуется угроза ложной аутентификации. Атаки отличаются используемым набором возможностей нарушителя, необходимости которых вызвана особенностями конструкции протоколов в части подписываемых сообщений. Если подписывается идентификатор инициатора, передаваемый в первом сообщении, то дополнительно требуется возможности навязывания честному участнику его идентификатора при регистрации в сети. Если подписывается эфемерный ключ ответчика, то требуется возможности компрометации будущих открытых эфемерных ключей.

Изучается множество булевых функций от малого числа переменных с оптимальными показателями алгебраической и корреляционной иммунности. Исследуется возможность использования данных функций в качестве координатных функций S-блока.

Предложены тесты криптоаналитической обратимости для функций от трёх аргументов. Сформулированы алгоритмы построения функции восстановления и генерации обратимых функций.

Рассматривается конструкция векторной булевой функции, координаты которой получаются из одной булевой функции с помощью циклического сдвига вектора переменных. Предложен алгоритм построения такой функции, обладающей свойством обратимости; доказаны его полнота и корректности; посчитано количество доставляемых им функций, а также количество обратимых функций в обобщённой конструкции - когда к вектору переменных применяется произвольная полноцикловая перестановка.

Бент-функции вида F2 → Zq, где q ≥ 2- натуральное число, называются обобщёнными бент-функциями. Обобщённые бент-функции, для которых можно определить дуальную бент-функцию, называются регулярными. Исследуются обобщённые бент-функции, алгебраическая степень которых равна 1. Получены необходимые и достаточные условия того, что обобщённая булева функция алгебраической степени 1 является бент-функцией. Исследованы условия, при которых функция будет регулярной, а также слабо регулярной. Для случая q = 2k получено описание компонентных булевых функций обобщённой бент-функции алгебраической степени 1, из которого следует, что две из них, имеющие наибольший индекс, являются квадратичными, а остальные - постоянными.

Рассматриваются оценки мощности множеств Pn обратимых функций F : F2→F2, для которых любое U ⊆ F2 и его образ F(U) не могут одновременно являться аффинными подпространствами F2 размерности k, где 3 ≤ k ≤ n - 1. Приведены нижние оценки мощности Pn и Pn … ∩ Pn-1, усиливающие результаты 2007 г. (W. Е. Clark и др.)о непустоте данных множеств. Доказано, что почти все подстановки на F2 принадлежат Pn ∩ … ∩ Pn-1. Для мощностей множеств Pn и Pn∩ … ∩ Pn-1 получены асимптотические оценки сверху и снизу с точностью до 0(2n!). Оценено снизу число функций из Pn∩ …∩ Pn-1, которые отображают ровно одно аффинное подпространство F размерности 3 в аффинное подпространство.

Атака методом бумеранга, предложенная в 1999 г., является разновидностью разностной атаки. Её преимущество заключается в том, что даже при невысоком показателе дифференциальной равномерности шифр всё равно может быть уязвим. Данная работа посвящена такому параметру векторной булевой функции, как бумеранговая равномерности, который характеризует стойкости функции к атаке методом бумеранга. В качестве исследуемого класса функций рассматриваются квадратичные подстановки. Изучена зависимости бумеранговой характеристики от дифференциальной для этого класса, основным результатом является выражение, связывающее бумеранговую равномерности функции со значениями её DDT-таблицы и полученное благодаря использованию матричного подхода к работе с квадратичными функциями, а также известных свойств дифференциальной и бумеранговой характеристик. Исследованы некоторые конструкции квадратичных подстановок для малого числа переменных на предмет бумеранговой характеристики и установлены другие их свойства.

Рассматривается количество ближайших бент-функций к некоторым бент-функциям из класса Мэйорана - МакФарланда М2n, близкое к оценкам для него: нижней l2n = 22n+1- 2n и точной верхней £2n. Для бент-функций вида f(х,у) = ⟨х,σ(у)⟩ ⊕ φ(у) ∈ М2n где σ построена с помощью функции инверсии элементов конечного поля, подсчитано число ближайших бент-функций при тождественно нулевой φ, а также показано, что для некоторой подходящей φ количество ближайших к f меньше чем l2n + 82(2n - 1), т. е. равно l2n + о(l2n) при n → ∞. Получена формула числа бент-функций, ближайших к f(x, у) = ⟨x, у⟩ ⊕ y1y2.. .ym ∈ M2n,где 3 ≤ m ≤ n. Для m = 3 и m = n это число равно о(L2n) и 1/3L2n + о(L2n соответственно при n → ∞. Приведена полная классификация M6 по числу ближайших бент-функций.

Приводятся аналоги теорем о строении медиальных и парамедиальных квазигрупповых алгебр и некоторых их обобщений применительно к случаю сильно зависимых бинарных операций.

Рассматриваются разбиения Wn,l подмножества Vn(2m) декартова произведения V1 (2m) векторного пространства Vn(2m) полем F2m, состоящего из всех l-грамм с попарно различными координатами, l,n,m ∈ N,l,n ≥2. Такие разбиения обобщают «классические» разностные разбиения при l = 2 и встречаются в методах криптоанализа, использующих линейности, высшие, усечённые, невозможные и кратные разности. На Vn(2m) задано покоординатное действие группы S(Vn(2m)) на l-граммах. Описываются свойства подстановок, максимально удалённых относительно метрики Хемминга от группы, сохраняющей разбиения W декартово произведения Vn(2m). Данные подстановки названы совершенно рассеивающими разбиение W. Указана связь между подстановками, совершенно рассеивающими разбиения Wn,l, APN-подстановками, АВ-подстановками и 2r- разностно-равномерными подстановками, r ≥ 1. Сравниваются свойства рассеивания разбиений W(n,3) известными классами подстановок S-боксов.

Приводятся все возможные характеристические многочлены эндоморфизма Фробениуса геометрически разложимых обычных абелевых многообразий размерности 3 над конечным полем.

Рассматриваются все возможные двоичные последовательности, имеющие длину a + b и состоящие из a единиц и b нулей. Для такой последовательности исследуется число пар содержащихся в ней подпоследовательностей заданной длины s (так называемых s-цепочек) с совпадающими значениями элементов этих подпоследовательностей. В предположении, что все исходные последовательности равновероятны, предлагается точная формула для числа пар s-цепочек с совпадающими значениями.

Рассматриваются 5-конфигурации, определяемые их матрицами инциденций над полем GF(2), которые должны быть невырожденными и содержать в каждой строке и каждом столбце ровно 5 единиц, причём обратная матрица также должна обладать этим свойством. Изучаются автоморфизмы 5-конфигураций. Указывается связь между группой автоморфизмов ориентированного графа без петель и параллельных дуг с двумя входными и двумя выходными дугами при каждой вершине и группой автоморфизмов 5-конфигурации, получаемой по этому орграфу.