ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассматривается количество ближайших бент-функций к некоторым бент-функциям из класса Мэйорана - МакФарланда М2n, близкое к оценкам для него: нижней l2n = 22n+1- 2n и точной верхней £2n. Для бент-функций вида f(х,у) = ⟨х,σ(у)⟩ ⊕ φ(у) ∈ М2n где σ построена с помощью функции инверсии элементов конечного поля, подсчитано число ближайших бент-функций при тождественно нулевой φ, а также показано, что для некоторой подходящей φ количество ближайших к f меньше чем l2n + 82(2n - 1), т. е. равно l2n + о(l2n) при n → ∞. Получена формула числа бент-функций, ближайших к f(x, у) = ⟨x, у⟩ ⊕ y1y2.. .ym ∈ M2n,где 3 ≤ m ≤ n. Для m = 3 и m = n это число равно о(L2n) и 1/3L2n + о(L2n соответственно при n → ∞. Приведена полная классификация M6 по числу ближайших бент-функций.

Приводятся аналоги теорем о строении медиальных и парамедиальных квазигрупповых алгебр и некоторых их обобщений применительно к случаю сильно зависимых бинарных операций.

Рассматриваются разбиения Wn,l подмножества Vn(2m) декартова произведения V1 (2m) векторного пространства Vn(2m) полем F2m, состоящего из всех l-грамм с попарно различными координатами, l,n,m ∈ N,l,n ≥2. Такие разбиения обобщают «классические» разностные разбиения при l = 2 и встречаются в методах криптоанализа, использующих линейности, высшие, усечённые, невозможные и кратные разности. На Vn(2m) задано покоординатное действие группы S(Vn(2m)) на l-граммах. Описываются свойства подстановок, максимально удалённых относительно метрики Хемминга от группы, сохраняющей разбиения W декартово произведения Vn(2m). Данные подстановки названы совершенно рассеивающими разбиение W. Указана связь между подстановками, совершенно рассеивающими разбиения Wn,l, APN-подстановками, АВ-подстановками и 2r- разностно-равномерными подстановками, r ≥ 1. Сравниваются свойства рассеивания разбиений W(n,3) известными классами подстановок S-боксов.

Приводятся все возможные характеристические многочлены эндоморфизма Фробениуса геометрически разложимых обычных абелевых многообразий размерности 3 над конечным полем.

Рассматриваются все возможные двоичные последовательности, имеющие длину a + b и состоящие из a единиц и b нулей. Для такой последовательности исследуется число пар содержащихся в ней подпоследовательностей заданной длины s (так называемых s-цепочек) с совпадающими значениями элементов этих подпоследовательностей. В предположении, что все исходные последовательности равновероятны, предлагается точная формула для числа пар s-цепочек с совпадающими значениями.

Рассматриваются 5-конфигурации, определяемые их матрицами инциденций над полем GF(2), которые должны быть невырожденными и содержать в каждой строке и каждом столбце ровно 5 единиц, причём обратная матрица также должна обладать этим свойством. Изучаются автоморфизмы 5-конфигураций. Указывается связь между группой автоморфизмов ориентированного графа без петель и параллельных дуг с двумя входными и двумя выходными дугами при каждой вершине и группой автоморфизмов 5-конфигурации, получаемой по этому орграфу.