Архив статей журнала
Приводятся оценки для минимальной нормы проектора при линейной интерполяции на компакте в Rn. Пусть Π1(Rn) - пространство многочленов от n переменных степени не выше 1, Ω - компакт в Rn, K=conv(E). Будем предполагать, что vol(K)>0. Пусть точки x(j)∈Ω, 1≤j≤n+1, являются вершинами n-мерного невырожденного симплекса. Интерполяционный проектор P:C(Ω)→Π1(Rn) с узлами x(j) определяется равенствами Pf(x(j))=f(x(j)). Под ∥P∥Ω будем понимать норму P как оператора из C(Ω) в C(Ω. Через θn(Ω) обозначим минимальную норму ∥P∥Ω из всех операторов P с узлами, принадлежащими Ω. Через simp(Ω) обозначим максимальный объём симплекса с вершинами в Ω. Устанавливаются неравенства χ−1n(vol(K)simp(Ω))≤θn(Ω)≤n+1. Здесь χn - стандартизованный многочлен Лежандра степени n. Нижняя оценка доказывается с применением полученной характеризации многочленов Лежандра через объёмы выпуклых многогранников. Именно, мы показываем, что при γ≥1 объём многогранника \left{x=(x_1,...,x_n)\in{\mathbb R}^n : \sum |x_j| +\left|1- \sum x_j\right|\le\gamma\right} равен χn(γ)/n!. В случае, когда Ω - n-мерный куб или n-мерный шар, нижняя оценка даёт возможность получить неравенства вида θn(Ω)⩾cn√. Формулируются некоторые открытые вопросы.Приводятся оценки для минимальной нормы проектора при линейной интерполяции на компакте в Rn. Пусть Π1(Rn) - пространство многочленов от n переменных степени не выше 1, Ω - компакт в Rn, K=conv(E). Будем предполагать, что vol(K)>0. Пусть точки x(j)∈Ω, 1≤j≤n+1, являются вершинами n-мерного невырожденного симплекса. Интерполяционный проектор P:C(Ω)→Π1(Rn) с узлами x(j) определяется равенствами Pf(x(j))=f(x(j)). Под ∥P∥Ω будем понимать норму P как оператора из C(Ω) в C(Ω. Через θn(Ω) обозначим минимальную норму ∥P∥Ω из всех операторов P с узлами, принадлежащими Ω. Через simp(Ω) обозначим максимальный объём симплекса с вершинами в Ω. Устанавливаются неравенства χ−1n(vol(K)simp(Ω))≤θn(Ω)≤n+1. Здесь χn - стандартизованный многочлен Лежандра степени n. Нижняя оценка доказывается с применением полученной характеризации многочленов Лежандра через объёмы выпуклых многогранников. Именно, мы показываем, что при γ≥1 объём многогранника \left{x=(x_1,...,x_n)\in{\mathbb R}^n : \sum |x_j| +\left|1- \sum x_j\right|\le\gamma\right} равен χn(γ)/n!. В случае, когда Ω - n-мерный куб или n-мерный шар, нижняя оценка даёт возможность получить неравенства вида θn(Ω)⩾cn√. Формулируются некоторые открытые вопросы.