Приводятся дифференциально-геометрические доказательства двух наблюдений, обнаруженных в работе Г. В. Белозеровым и А. Т. Фоменко при описании функций вращения плоского биллиарда.
Биллиард с потенциалом Гука. Это часть плоскости, ограниченная дугами софокусных эллипсов и гипербол, в котором на материальную точку (биллиардный шар) действует точечный упругий потенциал Гука, размещённый в центре софокусного семейства квадрик.
В работе [1] А. Т. Фоменко был введен новый класс биллиардов. Пусть материальная точка движется равномерно и прямолинейно внутри окружности и попадает на границу в точке х. Повернув радиус-вектор точки х на фиксированный угол а, точку на конце полученного радиус-вектора обозначим буквой у. Продолжим движение частицы из точки у по лучу, выходящему из у под тем же углом к границе, что и в точке х. В данном случае движение “по” или “против” часовой стрелки сохраняется. Другими словами, частица продолжает движение, выходя из новой точки под тем же углом и “проскальзывая” вдоль границы. На основании этого такой класс систем был назван “биллиардами с проскальзыванием на угол а”.