Актуальность и цели. В динамическом моделировании конкурентного взаимодействия в разных областях актуально применение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами. Исследование двумерных систем, используемых в таких моделях, подробно разработано и отражено в научной литературе. Изучение систем большей размерности часто проводится методами численного анализа, в литературе отражены сложности изучения таких систем классическими методами качественной теории дифференциальных уравнений. Целью данной работы является изучение методами качественной теории трехмерной системы, применяемой для моделирования взаимодействия трех конкурирующих групп.
Материалы и методы. Дан обзор научных работ о применении систем обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования динамики конкуренции. Рассматривается трехмерная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с шестью параметрами на инвариантном треугольнике частот. Определены понятия областей приближения (удаления) особых точек системы. Рассматривая пересечения треугольника частот с поверхностями уровня специально подобранных функций, разбиваем его на области приближения (удаления) для каждой особой точки, расположенной на его сторонах, но не в вершинах.
Результаты. Найдены уравнения границ областей приближения (удаления) указанных особых точек, зависящие от параметров системы. Доказаны теоремы, описывающие взаимное расположение границ построенных областей и особых точек системы. Рассмотрен численный пример со значениями коэффициентов системы, основанными на данных лингвистической задачи. Он иллюстрирует разработанный метод анализа фазового портрета.
Выводы. Разработанный и теоретически обоснованный метод позволяет уточнять детали фазового портрета изучаемой системы без ее аналитического или численного решения.
Актуальность и цели. Исследуются осциллирующие движения динамических систем, а именно движения, которые не являются ограниченными и, кроме того, обладают тем свойством, что не стремятся к бесконечности при стремлении времени к плюс бесконечности. Такие движения играют важную роль в различных задачах математической физики, небесной механики, термодинамики и астрофизики.
Материалы и методы. Введены в рассмотрение новые понятия, связанные с осциллируемостью множества всех решений системы дифференциальных уравнений - понятие эквиосциллируемости в пределе множества всех решений и частичные аналоги этого понятия.
Результаты. На основе принципа сравнения Матросова с вектор-функциями Ляпунова и найденной автором связи между ограниченностью по Пуассону и осциллируемостью решений получены достаточные условия эквиосциллируемости в пределе множества всех решений, а также частичные аналоги этих условий. Работа продолжает исследования автора по изучению ограниченности и осциллируемости множеств всех решений дифференциальных систем с использованием функций Ляпунова и вектор-функций Ляпунова.
Выводы. Полученные теоретические результаты могут быть использованы для анализа сложных динамических систем в различных областях науки.