Актуальность и цели. Исследование динамических систем, инвариантных относительно разных групп преобразований, важно как для теории дифференциальных уравнений, так и для ее приложений. Локальные бифуркации в типичных двухпараметрических семействах динамических систем, задаваемых векторными полями, инвариантными относительно инволюции плоскости, имеющей прямую из неподвижных точек, были описаны Х. Жолондеком. Целью настоящей работы является исследование некоторых нелокальных бифуркаций в таких семействах.
Материалы и методы. Применяются метод точечных отображений и другие методы качественной теории дифференциальных уравнений.
Результаты. Рассматривается типичное двухпараметрическое семейство векторных полей на плоскости с симметрией относительно оси x. Предполагается, что при нулевом значении параметра поле имеет грубое седло, слабое седло, лежащие на оси х, и два симметричных контура, образованные сепаратрисами этих седел. Получена бифуркационная диаграмма - разбиение окрестности нуля на плоскости параметров по типам фазовых портретов в окрестности полицикла, составленного из указанных контуров. В частности, показано, что из каждого контура может родиться по одному устойчивому грубому предельному циклу.
Выводы. Описан один из возможных сценариев возникновения устойчивых периодических колебаний при изменении параметров динамической системы с инволютивной симметрией.
Актуальность и цели. Динамические системы, задаваемые разрывными кусочно-гладкими векторными полями на плоскости, являются естественными математическими моделями релейных систем теории автоматического управления. Периодические траектории описывают автоколебания. Хотя исследованию рождения периодических траекторий посвящено значительное число работ, описание типичных бифуркаций далеко от завершения. Целью настоящей работы является изучение бифуркаций периодических траекторий, аналогичных бифуркациям двойного и тройного циклов гладкой динамической системы.
Материалы и методы. Применяются метод точечных отображений и другие методы качественной теории дифференциальных уравнений.
Результаты. Рассматривается типичное двухпараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Предполагается, что при нулевых значениях параметров поле имеет периодическую траекторию Г, касающуюся линий переключения в двух особых точках типа «развилка» и не содержащую других особых точек. При этом обе компоненты, на которые Г разбивает плоскость, пересекаются с сепаратрисами развилок, не содержащимися в Г. Рассматриваются три случая. В первом случае Г устойчива и бифурцирует аналогично тройному циклу, во втором случае Г устойчива, но ее бифуркации состоят только в изменении числа участков скользящих движений на ней, а в третьем случае Г полуустойчива и бифурцирует аналогично двойному циклу.
Выводы. Указано несколько возможных сценариев рождения и перерождения периодических траекторий кусочно-гладкой динамической системы при изменении ее параметров.