SciNetwork › SCI Библиотека

Диссертация: ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ Sn-МЕТОДЫ ДЛЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ В СФЕРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Скачать

Кинетические уравнения переноса излучений – нейтронов, фотонов и других
частиц [1-3] являются математическим описанием физических законов сохранения.
Кратко, без детализации, эти законы можно свести к двум положениям – это
сохранение числа частиц при их движении без взаимодействия со средой
(дивергентность уравнения переноса) и определенное количественное соответствие
между числом исчезнувших частиц при их взаимодействии со средой и числом вновь
появившихся вторичных частиц (самосогласованность столкновительных членов в
кинетическом уравнении). Точное выполнение законов сохранения в дискретных
моделях переноса и кинетики частиц (консервативность модели) является одним из
наиболее важных аппроксимационных требований. Поэтому при построении
консервативных сеточных аппроксимаций методом баланса [4] кинетические
уравнения переноса частиц [1-3] принято рассматривать в дивергентной форме
([5-18] и др.):
и строго выполнять сеточную дивергентность и сеточную самосогласованность
столкновительных членов N)(r
σ , TN и таким образом обеспечивать консервативность
модели в дискретной форме.
Следующее важное требование, предъявляемое к сеточным аппроксимациям
кинетических уравнений (В.1), заключается в построении и использовании разностных
схем, порядок точности которых не ниже второго на гладких решениях (это требование
обусловлено очень низкой точностью схем первого порядка). Так как уравнение переноса
(В.1) линейное, то невозможно построить линейную разностную схему второго порядка
точности, которая была бы теоретически положительной и монотонной [19].
Немонотонность схем второго порядка точности часто проявляется и в практических
расчетах, поэтому вопрос монотонизации сеточных решений для этого класса схем с
обеспечением хорошей точности расчетов является исключительно актуальным.
Частичным решением проблемы немонотонности сеточных решений для схем второго
5
порядка точности является разработка и локальное по ячейкам сетки применение
«алгоритмов коррекции потока» (АКП) [12]. Однако в АКП очень т

Информация о документе

Формат документа
PDF
Кол-во страниц
97 страниц
Загрузил(а)
Старцев Вадим
Старцев Вадим
Лицензия
CC BY
Доступ
Всем
Просмотров
14

Предпросмотр документа

1
2
3
95
96
97

Информация о диссертации

Место защиты (организация)
ТРИНИТИ
Научный руководитель
Трощиев В.Е.
Учёная степень
Кандидат наук
Год публикации
2008
Тема диссертации
05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Ключевые фразы
характеристические методы, кинетические уравнения, уравнения переноса нейтронов, диссертация
Каталог SCI
Физика
Оглавление

ведение………………………………………………………………………………………….4
Глава 1. Кинетическое уравнение переноса нейтронов для сферы и
математические постановки задач о его решении………………………………………..18
§1 Интегро-дифференциальное уравнение переноса в частных
производных первого порядка……………………………………………………………………18
§2 Семейство характеристик уравнения переноса в фазовом пространстве
( )
μ,r и семейство обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений
(ОИДУ) на характеристиках……………………………………………………………………21
§3 Классы задач для уравнений переноса и итерационные процессы их решения………..23
Комментарии к главе 1 …………………………………………………………………………25
Глава 2. Преобразование разностной схемы дискретного и непрерывного
Sn-методов в ячейке баланса в разностную схему метода характеристических
трубок относительно полного потока частиц и схему распределения
потока по неосвещенному контуру Sn-ячейки…………………………………………….26
§1 Разностная схема DSn-метода в ячейке баланса………………………………………….26
§2 Преобразование разностной схемы DSn-метода в схему для ОДУ
относительно полного потока и схему распределения потока по
неосвещенным граням Sn-ячейки (расщепление DSn-схемы)………………………………30
§3 Принадлежность разностной схемы первого этапа расщепления DSn–метода
классу схем метода характеристических трубок (ХТ-схемы)……………………………….33
§4 Дискретная форма и расщепление непрерывного Sn–метода на схему для ОДУ
и схему распределения полного потока………………………………………………………39
§5. О расщеплении балансных разностных схем для нестационарных и многомерных
кинетических уравнений переноса частиц……………………………………………………43
Выводы и комментарии по главе 2……………………………………………………………47
Глава 3. Обобщение метода характеристических трубок на ячейки-трубки
общего вида и построение двухэтапных DSn-методов квазимонотонного типа………48
3
§1 Построение осредненного ОДУ баланса в характеристических ячейках-трубках
общего вида……………………………………………………………………………………..48
§2 Sn–ячейка как ячейка-трубка. ………………………………………………………………55
§3 Положительные монотонные и квазимонотонные схемы 2-го порядка
точности для ОДУ баланса……………………………………………………………………………………………57
§4 Схемы распределения полного потока…………………………………………………….63
Выводы к главе 3……………………………………………………………………………….65
Глава 4. Численное исследование точности двухэтапных характеристических
DSn-методов для различных классов сферических задач………………………………66
§1 Тестирование новых схем на решении задач с источником……………………………..66
§2 Применение двухэтапных методов к решению задач на определение
критических параметров………………………………………………………………………70
Выводы к главе 4……………………………………………………………………………….72
Заключение………………………………………………………………………………………….73
Выводы…………………………………………………………………………………………75
Приложение……………………………………………………………………………………77
Литература………………………………………………………………………………………….94

Цель работы

Целью диссертационной работы является построение и исследование нового
класса Sn-методов для решения сферически-симметричных задач переноса нейтронов –
методов, объединяющих в себе достоинства DSn- и ХТ-методов и сохраняющих
возможность достаточно простого их обобщения на нестационарные и многомерные
уравнения

Основные задачи

Введением новой сеточной функции – полного потока частиц на освещенных и
неосвещенных гранях - классический DSn-метод преобразован в разностную схему для
ОДУ баланса относительно полного потока на неосвещенных гранях и схему его
распределения по этим граням. Обе схемы имеют второй порядок точности на гладких
решениях, но не положительны и не монотонны. DSn-метод в новой двухэтапной
форме представляет собой схему расщепления по причинам, вызывающим его
теоретическую и практическую немонотонность.
2. Математические понятия инварианта переноса и среднего расстояния, ранее
введенные в методе характеристических трубок, обобщены на сетки произвольной
формы. Установлена их связь с фазовым объёмом сеточных ячеек в сфере. В Sn-
ячейке, трактуемой как характеристическая трубка, построено ОДУ баланса
относительно полного потока и функция независимого источника с непрерывным
изменением аргумента - расстояния от освещённых граней до неосвещённых.
3. Для ОДУ в Sn-ячейке-трубке предложена экономичная монотонная 2-го порядка
точности разностная схема для определения полного потока. Эта схема и различные
17
алгоритмы распределения полного потока по неосвещенным граням представляют
собой новые численные методы (DSn-методы характеристических трубок - DSnt-
методы), в которых полностью устранена причина немонотонности, обусловленная
DSn-аппроксимацией столкновительных членов в уравнении переноса и кинетики
нейтронов.
4. Написаны программы, реализующие разработанные методы. Эффективность новых
DSnt-схем подтверждена численными расчетами задач с независимыми источниками и
задач на собственные значения. Полное устранение одной причины немонотонности
приводит к качественно новым численным результатам (квазимонотонные схемы).

Научна новизна

построение новых разностных схем на базе схем DSn- и ХТ-
методов на Sn-сетках (DSn-методы характеристических трубок или DSnt-методы) и
численное исследование этих схем на монотонность и точность в расчетах основных
классов задач переноса и кинетики нейтронов

Заключение

ВЫВОДЫ
• DSn-метод преобразован в две последовательно выполняемые схемы. Первая – это
разностная схема для ОДУ относительно полного потока на неосвещенных гранях,
вторая – это схема его распределения по двум неосвещенным граням. В новой
двухэтапной форме классический DSn-метод представляет собой схему
расщепления по двум причинам, обусловливающим его теоретическую и
практическую немонотонность.
• Показано, что у DSn-метода в новой двухэтапной форме схема для ОДУ аналогична
простейшей разностной схеме метода характеристических трубок – ХТ-метода, а
схема распределения эквивалентна дополнительным интерполяционным
соотношениям дискретного Sn-метода – DSn-метода.
76
• Сформулирован новый подход к построению разностных схем на Sn-сетках. Суть
подхода заключается в том, что разностная схема первого этапа заменяется в
каждой ячейке на ОДУ баланса относительно полного потока с непрерывным
изменением аргумента в самом ОДУ, в независимом источнике и источнике
вторичных нейтронов. В работе такое ОДУ построено.
• Применение положительных монотонных или квазимонотонных разностных схем
2-го порядка точности для численного решения ОДУ в каждой отдельной Sn-ячейке
полностью устраняет первую причину немонотонности DSn-метода,
обусловленную аппроксимацией члена поглощения частиц в кинетическом
уравнении.
• Для решения ОДУ в Sn-ячейке предложена экономичная монотонная 2-го порядка
точности разностная схема и алгоритмы распределения полного потока по
неосвещенным граням, что в совокупности составляет суть новых DSn-методов
характеристических трубок (DSnt-методы или DSnt-схемы). Эффективность новых
DSnt-схем подтверждена численными рассчетами различных типов задач переноса
и кинетики нейтронов для сферических систем.
• Математический формализм обобщения классического DSn-метода на
нестационарные и многомерные кинетические уравнения полностью сохраняется
для DSnt-схем

Список источников
  1. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1960.
  2. Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер. Физика ударных волн и высокотемпературных
    гидродинамических явлений. М. Наука, 1966, 686с.
  3. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.,
    Атомиздат, 1981, 454 с.
  4. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1983
  5. Самарский А.А. Прямой расчет мощности взрыва. – Международный симпозиум, Дубна,
    14-17 мая 1996 г. В сб.: “Наука и общество: история советского атомного проекта (40-е –
    50-е годы)”, 1997, том. 1, стр. 214-222.
  6. В.Я. Гольдин. Методы расчета переноса нейтронов и горения в термоядерном изделии
    (1948–1960 гг.) – Международный симпозиум, Дубна, 14–17 мая 1996 г. В сб.: “Наука и
    общество: история советского атомного проекта (40–е – 50–е годы)”, 1999, том.2,
    стр.497–501.
  7. В.Е. Трощиев. Решение кинетического уравнения и уравнений квазидиффузии по
    согласованным разностным схемам. – Численные методы решения задач математической
    физики (дополнение к ЖВМ и МФ, 6,No 4). М.: Наука, 1966. С.177-185.
  8. В.Е. Трощиев, В.Ф. Юдинцев, В.И. Федянин. Об ускорении сходимости итераций при
    решении кинетического уравнения. ЖВМ и МФ, 1968, 8, No2, с.452-458.
  9. А.В. Никифорова, В.А. Тарасов, В.Е. Трощиев. О решении кинетических уравнений
    дивергентным методом характеристик.–ЖВМ и МФ, 1972, 12, N4,с.1041–1048.
  10. В.Е. Трощиев. О математических свойствах Sn–методов решения кинетических
    уравнений.– ЖВМ и МФ, 1975, 15, N5, с.1209–1221.
  11. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1978.
  12. Басс, А.М. Волощенко, Т.А. Гермогенова. Методы дискретных ординат в задачах о
    переносе излучения. ИПМ АН СССР, М., 1986.
  13. В.Е. Трощиев, В.А. Шумилин. Разностная схема решения двумерного уравнения
    переноса на нерегулярных четырехугольных сетках. – ЖВМ и МФ, 1986, 26,N2, с.230–
  15. О. С. Широковская. Об одной модификации DSn-метода. // Вопросы атомной науки и
    техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 1989. Вып.1. с.24–
  17. Н. П. Плетенева, Р. М. Шагалиев. Аппроксимация двумерного уравнения переноса на
    четырехугольных и многоугольных пространственных сетках по разностной схеме с
    расширенным шаблоном.// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое
    моделирование физических процессов. !989. Вып.3. с.34–40.
  18. Л.П. Федотова, Р.М. Шагалиев. Конечноразностный КМ-метод для двумерных
    нестационарных процессов переноса в многогрупповом кинетическом приближении.
    Математическое моделирование. 1991. т.3,No6. С.29-41.
    95
  19. В.А. Елесин, В.Е. Трощиев, В.Ф. Юдинцев. Развитие численных методов и программ
    расчета одномерных спектральных задач переноса теплового излучения во ВНИИЭФ. –
    ВАНТ, Серия: Математическое моделирование физических процессов, 2002, Вып. 1,
    с. 11-28.
  20. А. Н. Москвин, В. А. Шумилин. Методика решения двумерного уравнения переноса на
    нерегулярных многоугольных сетках. // Вопросы атомной науки и техники. Сер.
    Математическое моделирование физических процессов. 2005. Вып.1. с.31–40.
  21. Калиткин Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.
  22. В.Е. Трощиев. О классах сеток, допускающих консервативные аппроксимации
    двумерного оператора переноса треугольным разностным оператором. – ЖВМ и МФ,
    1976, 16,No 3, с.793-797.
  23. Б. Карлсон, Дж. Белл. Решение транспортного уравнения Sn–методом. – В сб. “Физика
    ядерных реакторов”. М., Атомиздат, 1959, стр.408–432.
  24. Б. Карлсон. Численное решение задач кинетической теории нейтронов. В сб. “Теория
    ядерных реакторов”. М., Госатомиздат, 1963, 243–258.
  25. Карлсон Б.Г., Латроп К.Д. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.:
    Вычислительные методы в физике реакторов. Под ред. Х. Гринпсена, К. Келбера и Д.
    Окрента. М., Атомиздат, 1972, стр.102-157.
  26. В.С. Владимиров. Численное решение кинетического уравнения для сферы.
    Вычислительная математика, 3, 1958, 3–33.
  27. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М. «Мир», 1972,
    418 с.
  28. О. В. Бутнева, Ю. М. Матвеев. Численное сравнение дискретной и непрерывной
    аппроксимаций Sn-метода решения сферически-симметричного уравнения переноса.
    ВАНТ, Серия: Методики и программы численного решения задач математической
    физики, 1983, вып.3, С.36-40.
  29. Е. В. Грошев, А. М. Пастушенко, В. Ф. Юдинцев. Об одной трехточечной разностной
    схеме с весовым множителем для уравнения переноса. – Вопросы атомной науки и
    техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической
    физики. 1985. Вып.2. С.87–96.
  30. а) С. В. Мжачих, Е. В. Грошев, В. Ф. Юдинцев. О некоторых свойствах SD
    ~ n
    γ –схем для
    сферически-симметричного уравнения переноса. // Вопросы атомной науки и техники.
    Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2000. Вып.2. с.21–31.
    б) С. В. Мжачих, Е.В. Грошев, В. Ф. Юдинцев. Еще о свойствах SD
    ~ n
    γ –схем для
    сферически-симметричного уравнения переноса. // Вопросы атомной науки и техники.
    Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2001. Вып.2. с.42–48
  31. В.А. Елесин, В.Е. Трощиев, В.Ф. Юдинцев, В.И. Федянин – Численная методика и
    организация программы для решения многогруппового нестационарного кинетического
    96
    уравнения. Сб.: Комплексы программ математической физики, Новосибирск, ВЦ СО АН
    СССР, 1972, 18–23.
  32. В. Я. Гольдин, Н. Н. Калиткин, Т. В. Шишова. Нелинейные разностные схемы для
    гиперболических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической
    физики, 1965, т.5, No5, с.938-944.
  33. Головизнин В. М. Балансно-характеристический метод численного решения уравнений
    газовой динамики. ДАН, 2005, т.403, No4, с.1-6.
  34. Аристова Е. Н., Гольдин В. Я., Дементьев А. С. Разностное решение двумерного
    стационарного уравнения переноса в переменных Владимирова. Математическое
    моделирование, 2006, т.18, No6, с.44-52.
  35. В. Я. Гольдин. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения. - ЖВМ и
    МФ, 1964, т.4, No6, с.1078-1087.
  36. В. Я. Гольдин, А. В. Колпаков, А. В. Мисюрев. Решение нестационарного уравнения
    переноса без явного выделения фронта. – Препринт ИПМ АН СССР N68, 1983.
  37. Carlson B. G. A method of characteristics and other improvements in solution methods for the
    transport equation. Nuclear science and engineering: 61, 408-425 (1976).
  38. Т. А. Гермогенова, А. М. Волощенко. К развитию метода дискретных ординат. //
    Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. 1985. Вып.
  39. С. 57.
  40. А. Д. Гаджиев, И. А. Кондаков, В. Н. Писарев, О. И. Стародумов, А. А. Шестаков. Метод
    дискретных ординат с искусственной диссипацией для численного решения уравнения
    переноса нейтронов. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое
    моделирование физических процессов. 2003. Вып.4. с.13–24.
  41. А. Д. Гаджиев, В. Н. Селезнев, А. А. Шестаков. DSn-метод с искусственной диссипацией
    и ВДМ-метод ускорения итераций для численного решения двумерного уравнения
    переноса теплового излучения в кинетической модели. // Вопросы атомной науки и
    техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2003. Вып.4. с.33–
  43. K. D. Lathrop. A Comparison of Angular Difference Schemes for One-Dimensional Spherical
    Geometry SN Equations. Nuclear Science and Engineering: 134, 239-264 (2000).
  44. Е. В. Диянкова, О. С. Широковская. LD–схема для уравнений переноса в сферической
    геометрии. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование
    физических процессов. 1989. Вып.1. с.40–43.
  45. Е. В. Диянкова, О. С. Широковская. Разностная схема повышенного порядка
    аппроксимации для уравнения переноса. Математическое моделирование, 1994, т.6, No2,
    с.113-122.
  46. О.С. Широковская, Л.В. Соколов. Неявные консервативные монотонные схемы
    высокого порядка точности для численного решения уравнения переноса. // Вопросы
    атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов.
  47. Вып.2. с.31-40.
    97
  48. О. В. Диянков. Почти монотонная неявная разностная схема повышенного порядка
    точности бегущего счета для решения линейного уравнения переноса. // Вопросы
    атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов.
  49. Вып.3. с.36–44.
  50. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. –
    Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1961, - 158 с.
  51. Марчук Г.И. Численные методы расчета ядерных реакторов. М., Атомиздат,
    1958, 381 с.
  52. Трощиев В. Е., Нифанова А. В., Трощиев Ю. В. Характеристический подход к
    аппроксимации законов сохранения в кинетических уравнениях переноса излучений.
    ДАН, 2004, т394, N4, стр.454-458.
  53. W. H. Reed. New Difference Schemes for the Neutron Transport Equation. Nucl. Sci. Eng., 46, 1971,
    p.309-315
  54. С. Р. Меркулова, В. Е. Трощиев. Монотонные разностные схемы для уравнения
    переноса и метод их построения. Препринт ИАЭ им. И.В. Курчатова, N5458/16, М., 1992.
  55. В. Е. Трощиев, А. В. Нифанова. Построение и исследование разностных схем для
    уравнения переноса первого и второго порядка в плоском слое. Препринт ТРИНИТИ
    N0052–А,(1999), 6с.
  56. А. В. Нифанова, В. Е. Трощиев. Нелинейная монотонная схема типа DSn–метода для
    уравнения переноса. Научная сессия МИФИ–2001 сборник научных трудов, т.7, М., 2001,
    с.85–85.
  57. Трощиев В.Е., Трощиев Ю.В. Монотонные разностные схемы с весом для уравнения
    переноса в плоском слое. – Математическое моделирование, т. 15, No 1, 2003, с. 3-13.
  58. А.В. Нифанова. Характеристический подход к аппроксимации сферического уравнения
    переноса. Научная сессия МИФИ–2003 сборник научных трудов, т.7, М., 2003, с.107–108.
  59. А. В. Нифанова, В. Е. Трощиев. О методах распределения полного потока в схемах для
    сферического уравнения переноса. Научная сессия МИФИ–2004 сборник научных
    трудов, т.7, М., 2004, с.98–99.
  60. А. В. Нифанова, В. Е. Трощиев. Обобщение метода характеристических трубок на Sn-
    сетки для сферически-симметричного уравнения переноса. Препринт ТРИНИТИ N0097–
    А,(2002), 16с.
  61. В. Е. Трощиев, А. В. Нифанова. Подход характеристических трубок к анализу DSn-
    метода и построение новых разностных схем на Sn-сетках. – Математическое
    моделирование, т. 18, No 7, 2006, с. 24-42.
  62. В.Е. Трощиев, А.В. Нифанова. Характеристический анализ непрерывного Sn-метода.
    Научная сессия МИФИ–2007 сборник научных трудов, т.7, М., 2007, с.100–101.
  63. В. Я. Гольдин. Характеристическая разностная схема для нестационарного
    кинетического уравнения. ДАН СССР, 1960,т.133, No4, с.748-751.
  64. В.Е. Трощиев. Метод построения блочно-треугольных разностных схем для уравнения
    переноса в самосопряженной форме. – Математическое моделирование. 1998, 10, No1,
    с.117-125
SciNetwork › SCI Библиотека