Книга: Кратчайшие линии

В настоящей книжке исследуется с элементарной точки зрения ряд так называемых вариационных задач. В этих задачах рассматриваются величины, зависящие от кривой, и ищется кривая, для которой эта величина достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Таковы, например, задачи: среди всех кривых, соединяющих две точки на некоторой поверхности, найти кратчайшую; на плоскости среди всех замкнутых кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь, и т. д.

Материал этой книги в основном излагался автором на лекциях в школьном математическом кружке МГУ. Содержание первой лекции (§§ 1–10) в основном совпадает с содержанием вышедшей в 1940 г. брошюры автора “Геодезические линии”.

У читателя предполагается только знакомство с курсом элементарной математики. При этом первые главы носят совершенно элементарный характер, другие же, не требуя специальных знаний, требуют несколько большего навыка к математическому чтению и размышлению.

Весь материал книжки можно рассматривать как элементарное введение в вариационное исчисление (так называется тот раздел математики, в котором систематически изучаются задачи на отыскание минимума или максимума функционалов). Вариационное исчисление не входит в первый концентр курса “высшей математики”, изучающегося, например, в технических вузах. Однако мы считаем, что для человека, приступающего к изучению курса “высшей математики”, не бесполезно заглянуть подальше вперед.

Для читателя, знакомого с элементами математического анализа, не представит труда сделать некоторые определения и рассуждения, излагаемые в книжке не строго, совершенно строгими (поясняющие соображения для этого он часто найдет в тексте, данном мелким шрифтом); нужно, например, говорить не о малых величинах и их приближенном равенстве, а о бесконечно малых величинах и их эквивалентности. Если более взыскательный читатель останется все же неудовлетворенным допущенным здесь уровнем строгости и логической законченности рассмотрений, то пусть это послужит для него объяснением необходимости т