Обсуждается обусловленность глобальных матриц жесткости регулярных сеток конечных элементов. Предложена оценка сверху наибольшего собственного числа такой матрицы. Оценка строится по локальной матрице жесткости произвольного конечного элемента, следовательно, зависит только от размера и формы такого элемента и не зависит от количества конечных элементов, составляющих регулярную сетку. При построении оценки используются теорема Гершгорина и тот факт, что локальные матрицы жесткости конечных элементов регулярных сеток отличаются друг от друга только перестановкой блоков. На численном примере показано, что построенная оценка обладает высокой точностью и при большом количестве элементов, входящих в сетку, ее можно считать практически совпадающей с наибольшим собственным числом. Показано поведение оценки при изменении качества формы конечных элементов.
Идентификаторы и классификаторы
- SCI
- Физика
Одним из основных методов решения задач механики сплошных сред, в том числе для задач аэрокосмической области – прочности, газодинамики, является метод конечных элементов (МКЭ), в рамках которого задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Матрица СЛАУ предопределяется (до учета граничных условий) видом глобальной матрицы жесткости. Проблема собственных значений для матриц различного специального вида, хотя и решена в некоторых простых случаях [1, с. 178–180; 2], глобально продолжает оставаться актуальной. В ряде случаев вместо нахождения всех собственных чисел матрицы специального вида приходится ограничиться теми или другими оценками и локализацией спектра или его части [3–7].
Для построения СЛАУ МКЭ сначала вычисляются локальные матрицы всех конечных элементов (КЭ) ε , затем каждая из локальных матриц вкладывается в матрицу [K(ε )] большого порядка (для двумерного случая 2N × 2N , где N –количество узлов), и суммированием этих матриц большого порядка [8] находится вырожденная (нерегуляризованная) глобальная матрица жесткости: ∑= EKG K ε[ ] [ (ε )],где E ─ множество всех КЭ. Матрица [KG] является вырожденной, имеющей ровно три нулевых собственных числа и (2N − 3) ненулевых (рассматривается двумерный случай, т. е. каждый узел имеет две координаты). Рассмотрим треугольные КЭ. В [9] показано, что процедура регуляризации матрицы [KG] – перехода от [KG] к невырожденной матрице путем задания трех перемещений – является неканонической, и обоснована целесообразность применения в качестве меры обусловленности СЛАУ отношения наибольшего собственного числа матрицы [KG] к наименьшему положительному. В [2] установлено, что указанное отношение применимо с такой целью только асимптотически. Для регулярных сеток КЭ (составленных из КЭ, имеющих одни и те же форму и размеры) вид матрицы [KG] предопределен видом матриц [K(ε )].
Список литературы
-
Даугавет И. К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения: уч. пособие. СПб: БХВ-Петербург, 2006. 288 c.
-
Винник П. М., Винник Т. В., Хакимов А. А. Доказательство существования предела точности МКЭ при применении одинаковых одномерных линейных конечных элементов // Вычислительные технологии. 2022. Т. 27, № 1. С. 39-51. DOI: 10.25743/ICT.2022.27.1.004 EDN: QFNBQB
-
Батагаева Т. А., Казаков А. Л. Аналитическое и численное исследование числа обусловленности квазитеплицевой трехдиагональной матрицы матрицы с неограниченной размерностью // Вестник ИрГТУ. 2015. Т. 99, № 4. С. 122-130. EDN: TSILAX
-
Álvarez-Nodarse R., Petronilho J., Quintero N. R. Spectral properties of certain tridiagonal matrices // Linear Algebra and its Applications. 2012. Vol. 436, no. 3, pp. 682-698. DOI: 10.1016/j.laa.2011.07.040
-
Noschese S., Pasquini L., Reichel L. Tridiagonal Toeplitz Matrices: Properties and Novel Applications // Numerical Linear Algebra with Applications. 2013. Vol. 20, Iss. 2, pp. 302-326. DOI: 10.1002/nla.1811
-
Veerman J. J. P., Hammondy D. K., Baldiviesoz P. E. Spectra of Tridiagonal Matrices. URL: https://arxiv.org/pdf/1801.04977.pdf (дата обращения 02.11.2023).
-
Stukopin V., Grudsky S., Voronin I., Barrera M. Asymptotics of the eigenvalues of seven-diagonal Toeplitz matrices of a special form. URL: https://arxiv.org/pdf/2111.07196v1.pdf (дата обращения 02.11.2023).
-
Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. М.: Мир, 1975. 542 с.
-
Иванов К. М., Винник П. М., Иванов В. Н. Численное моделирование разделительных процессов обработки давлением // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. 2012. Т. 33, № 2. С. 192-198. EDN: PWOBVL
-
Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений: пер. с англ. М.: Наука, 1970. 564 с.
-
Икрамов Х. Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Наука, 1991. 240 с.
-
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: пер. с англ. М.: Мир, 1979. 392 с.
Выпуск
Другие статьи выпуска
Рассмотрено влияние содержания воды в гидравлических жидкостях на их вязкостно-температурные свойства. Обосновано, что изменение вязкости минеральных масел при изменении содержания воды может приводить как к увеличению вязкости, так и ее уменьшению. Приведены результаты экспериментального определения вязкости смеси минерального масла с имитатором морской воды. Указано, что для описания поведения рассматриваемых смесей могут быть использованы модели неньютоновских жидкостей.
Рассмотрен вопрос применения алгоритмов оптимального управления для минимизации изгибных колебаний спицы крупногабаритного трансформируемого рефлектора в процессе ее раскрытия. Применение данного управления позволяет уменьшить время раскрытия и повысить надежность и безопасность процесса развертывания антенны. Создание крупногабаритных систем космического базирования является актуальным направлением. Такие системы позволяют решать широкий круг задач по мониторингу поверхности Земли и космоса, в то же время из-за их размеров возникает вопрос деформации конструкции. Представлена математическая модель, описывающая раскрытие спицы с учетом поперечных колебаний. Разработаны алгоритмы оптимального управления, позволяющие минимизировать колебания конструкции. Для этапа настройки радиоотражающего сетеполотна разработан алгоритм, минимизирующий энергетические затраты. Результаты подтверждены математическим моделированием и отработкой алгоритмов на макетном образце. Предложен способ настройки радиоотражающей поверхности, позволяющий уменьшить количество актуаторов при сохранении числа точек актуации.
Представлены результаты исследований эпоксидных связующих и сравнительный анализ в вариантном исполнении базовых рецептур синтетических смол и рецептур, модифицированных коллоидным диоксидом кремния и ультрадисперсным цинком. Исследования проводились инструментальными методами с применением оптической микроскопии и дифференциально-сканирующей калориметрии, при этом исследовано распределение наночастиц модификаторов в объеме полимерных матриц и их влияние на формирование структуры отвержденных связующих.
Проблема создания методов антимикробной защиты в ракетно-космической технике требует новых подходов, в частности, разработки антибактериальных покрытий для защиты полезной нагрузки ракет-носителей. Также в космическом пространстве за пределами атмосферы Земли происходит ускоренная деградация материалов под воздействием излучения ультрафиолетового диапазона с длиной волны менее 280 нм (жесткий и вакуумный ультрафиолет). Актуальным является создание защитных покрытий для различных материалов, используемых в космосе. Рассмотрен инновационный экстракционно-пиролитический метод получения оксидных пленок, содержащих медь, титан и наночастицы оксида титана. В результате установлены составы эффективных антибактериальных покрытий с функцией защиты от УФ-излучения. Рассмотрены служебное назначение и особенности конструкции детали, на которую наносится покрытие, а также предложена блок-схема нанесения антибактериального покрытия для защиты внутреннего объема обтекателя от бактерий, циркулирующих в головной части ракеты-носителя. Исследованы возможности защиты от УФ-излучения с помощью нанесения оксидных пленок на внешнюю поверхность устройств и деталей ракет.
Предложены модельные технологические решения по обеспечению качества изделий при обработке точением. Проведено исследование обрабатываемости материалов на основе классификации ISO. Для уточнения группы обрабатываемости использована система кодов МС, которая позволила не только уточнить группу обрабатываемости и условия поставки заготовки, но и определить удельную силу резания. На основе классификатора-справочника выбраны параметры сборного режущего инструмента и определены технологические режимы для предписанных условий обработки. На основе полученной удельной силы резания реализован алгоритм упрощенного определения силы резания. Исследованы вибрации технологической системы механической обработки, что позволило сформулировать динамические модели для системы в целом, подсистем заготовки и режущего инструмента. Применительно к динамической модели подсистемы заготовки выполнено упрощение модели. Построена динамическая характеристика резания, которая позволила построить автономную динамическую модель технологической системы…
Надежность летательных аппаратов обеспечивается наносимыми на них различными функциональными покрытиями. Показатели качества покрытий обусловлены возможностями системы управления технологическим комплексом их напыления. Система управления эффективна, если при большом числе входных параметров она принимает оптимальное технологическое решение для достижения заданных значений показателей качества покрытия. Предложено использование нечеткой логики в системе управления технологическим комплексом напыления лакокрасочных покрытий. С помощью пакета Fuzzy Logic Toolbox программы MATLAB проведен анализ базирующейся на нечеткой логике системы управления технологической операцией нанесения распыляемой композиции на покрываемую поверхность. Показано, что использование нечеткой логики как элемента искусственного интеллекта, эффективно в системе управления технологическим процессом напыления.
Цель исследования - обзор разработки и применения самолетов с тяговыми электродвигателями на опыте КНР. Рассмотрены примеры с конца 19 в. до наших дней. Предложены возможности сотрудничества между двумя странами в области разработки и применения самолетов с тяговыми электродвигателями путем увеличения КПД электродвигателей и снижения их веса за счет применения высокотемпературных сверхпроводников, которые переходят в состояние сверхпроводимости при температуре, обеспечиваемой жидким азотом, на уровне 70-90 К.
Камера сгорания является одним из основных компонентов, определяющих энергомассовые характеристики двигательной установки. Дается подробное описание камер сгорания некоторых модельных двигателей, работающих на керосине. Рассматриваются результаты огневых испытаний и численных исследований камер сгорания модельных малоразмерных газотурбинных двигателей. Для качественного сравнения результатов расчетов с данными физического эксперимента используются цвета побежалости. По результатам проведенных исследований составлена карта распределения температур на стенках камеры сгорания. Внутренняя и внешняя поверхности камеры сгорания имеют неравномерную окраску цветами побежалости. Такая окраска является следствием неоднородных распределений температуры и концентрации различных компонентов продуктов сгорания, а также свидетельствует о формировании пространственного течения в камере сгорания.
Рассматриваются разветвленные ударно-волновые структуры (тройные конфигурации скачков уплотнения), возникающие в сверхзвуковых потоках совершенного газа, преимущественно при больших числах Маха течения и пониженных значениях показателя адиабаты. Аналитически и численно исследуется возможность неоднозначности решения для тройных конфигураций скачков уплотнения, формирующихся при маховском отражении, в том числе для конфигураций с отрицательным углом наклона отраженного скачка. Выведены и графически продемонстрированы условия сосуществования тройных конфигураций маховского отражения с другими ударно-волновыми структурами.
Изучаются вращательные колебания квадратной призмы, закрепленной на пружинной подвеске в рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей. Отношение длины призмы к поперечному размеру равно 2,6. Призма может совершать колебания относительно оси, проходящей через центр призмы и перпендикулярной вектору скорости набегающего потока и продольной оси призмы. Продольная ось призмы в равновесном положении направлена вдоль вектора скорости набегающего потока либо составляет с ней малый угол. Для регистрации колебаний используется акселерометр GY-521 на основе микросхемы МPU 6050, соединенный с отечественным контроллером Piranha UNO, который является аналогом широко распространенного контроллера Arduino UNO. В отсутствие потока вращательные колебания призмы являются затухающими. Если скорость потока больше некоторой величины, возникают колебания с постоянной амплитудой. Амплитуда растет с увеличением скорости набегающего потока. Математическая модель, предложенная для описания вращательных колебаний цилиндра, удовлетворительно работает для описания колебаний призмы.
Цилиндрический кумулятивный заряд представляет собой полую цилиндрическую облицовку, окруженную взрывчатым веществом. Процесс струеобразования в цилиндрической кумуляции труднодостижим, но вызывает интерес у исследователей благодаря своим особенностям: высокой скорости кумулятивной струи и низкому градиенту скоростей струи по длине относительно классической кумуляции. Для достижения процесса устойчивого струеобразования предложено устройство двухкаскадного цилиндрического заряда. Принцип его работы основан на создании пересжатого режима детонации во внутреннем заряде взрывчатого вещества. Таким образом, скорость метания внутренней оболочки к оси возрастет, что приведет к увеличению угла схлопывания оболочки и улучшению струеобразования. Приведена математическая модель функционирования такого устройства и рассмотрено несколько вариантов таких кумулятивных зарядов. С математической точки зрения доказана возможность функционирования такого устройства в режиме пересжатой детонации.
Издательство
- Издательство
- БГТУ "ВОЕНМЕХ" ИМ. Д.Ф. УСТИНОВА
- Регион
- Россия, Санкт-Петербург
- Почтовый адрес
- 190005, г Санкт-Петербург, Адмиралтейский р-н, ул 1-я Красноармейская, д 1
- Юр. адрес
- 190005, г Санкт-Петербург, Адмиралтейский р-н, ул 1-я Красноармейская, д 1
- ФИО
- Иванов Константин Михайлович (Ректор )
- E-mail адрес
- bgtu@voenmeh.ru
- Контактный телефон
- +7 (812) 3162394